¿Existen los "espacios localmente homogéneos"?

Question

Un espacio euclidiano tiene la propiedad de que cada punto tiene una vecindad que es homeomorfa a alguna vecindad de cualquier otro punto. No estoy seguro de cuál es el nombre de esta propiedad -pensé que podría ser un espacio homogéneo-, pero mirando en Wikipedia parece ser una idea diferente pero relacionada.

Entonces, la primera pregunta, ¿cuál es el nombre estándar para esta propiedad?

A efectos de esta pregunta, llamaré espacio homogéneo a un espacio con esta propiedad.

Ahora, fijando una bola abierta n, se caracteriza a una variedad topológica por ser localmente homeomorfa a esta bola abierta.

¿Existe una generalización útil en la que se sustituya la bola n abierta por un espacio homogéneo arbitrario? (En ese caso, dicha variedad "generalizada" también será homogénea).

Un buen ejemplo específico que no sea una variedad suave sería muy útil; por alguna razón estaba pensando que tal vez esto podría ser más probable dentro de la Geometría Algebraica - si las consideraciones anteriores incluso tienen sentido allí.

Answer 1

El concepto que mencionas podría llamarse "localmente modelado por", como en "una variedad topológica es modelado localmente por Espacio euclidiano".

La definición habitual de "homogéneo" (para una estructura geométrica) se refiere a la acción del grupo de automorfismos de la estructura. En este sentido, el espacio euclidiano es "homogéneo" porque si $p$ y $q$ son puntos arbitrarios, existe un movimiento euclidiano que lleva $p$ a $q$ . (Es una afirmación particularmente fuerte, ya que el grupo de movimientos euclidianos es de dimensión finita).

En el mismo sentido, una variedad topológica conexa es homogénea bajo su grupo de homeomorfismo, es decir, si $p$ y $q$ son puntos, existe un homeomorfismo que lleva $p$ a $q$ . (Esto es de alguna manera menos impresionante, ya que el grupo de homeomorfismo de una variedad es "grande").

Me parece que la propiedad general a la que quieres llegar es la "homogeneidad bajo el grupo de homeomorfismo". (Si eso es correcto, no necesitas mencionar estrictamente un "espacio modelo estándar", aunque por supuesto un espacio modelo estándar es útil si quieres estudiar la clase de objetos modelados localmente por un espacio particular).

Answer 2

Respondo a la segunda pregunta

Creo que el nombre correcto es $(X,G)$ -espacio.

Permítanme ser más preciso.

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico y $G$ sea un grupo de homoeomorfismos de $X$ (por ejemplo $G$ es el grupo entero de homeomorfismo).

Un espacio $Y$ se llama $(X,G)$ -espacio si

1) tiene una cubierta abierta $\{U_i\}$ con mapas $\phi_i:U_i\to X$ para que $V_i=\phi_i(U_i)$ está abierto en $X$ y $\phi_i$ es un homeomorfismo de $U_i$ a $V_i$ ;

2) para cada $U_i\cap U_j\neq \emptyset$ el mapa $\phi_i\circ\phi_j^{-1}:\phi_j(U_i\cap U_j)\to \phi_i(U_i\cap U_j)$ es la restricción de un mapa en $G$ .

Ejemplos

1) $X=\mathbb R^2$ y $G$ el grupo de homeos, entonces se obtienen superficies topológicas;

2) $X=\mathbb R^2$ y $G$ el grupo de difeomorfismo, entonces se obtiene una superficie diferenciable;

3) $X=\mathbb R^2$ y $G$ el grupo de isometrías, entonces se obtienen superficies euclidianas;

4) $X=\mathbb C$ y $G$ el grupo de biholomorfismo, entonces se obtienen superficies de Riemann;

Answer 3

Los espacios localmente homogéneos son, en efecto, una noción común en geometría o en topología geométrica, en particular a partir de la descripción de Thurston de las 8 geometrías que se necesitan para describir todos los 3manifolds compactos localmente homogéneos. Véase, por ejemplo Artículo de Goldman .