Analítica bijective función es $az$ o $\frac{a}{z}$

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema:

Deje $\mathbb{C}^* = \{z: 0 < |z| < \infty\}$$f: \mathbb{C}^* \to \mathbb{C}^*$, analítica y bijective función. Mostrar que $f(z) = az$ o $f(z) = \frac{a}{z}$ algunos $a \in \mathbb{C}$

No sé por dónde empezar y agradecería una pista.

Gracias!

Edit: voy a agregar a mi (bastante) solución detallada para cualquier persona que la necesite. Si usted está buscando consejos, usted los encontrará en los comentarios.

Answer 1

Mi solución:

1. 0 no es una singularidad esencial de $f$. Para mostrar esto, supongamos que es. Elija algunas de $w,z \in \mathbb{C}^*$ tal que $f(z) = w$. A partir de la cartografía local teorema, tenemos pequeños barrios de w y z - $U_w, U_z$ respectivamente, tal que para cada a$w' \in U_w$, $z' \in U_z$ tal que $f(z') =w'$. Ahora tome un pequeño barrio de 0 que no se intersectan con $U_z$ - $U_0$. De Casorati–Weierstrass, $f(U_0)$ es denso en $\mathbb{C}$, y particularmente en la $U_w$ por lo tanto $f$ no es bijective, lo cual es una contradicción.
2. Si 0 es una singularidad removible de $f$, luego le siguen naturalmente a $F$ sobre todo el plano. $F(0) = 0$ - nos muestran esta usando un método similar a lo que hicimos en #1.
3. Se trata de una 0 de orden 1, de lo contrario, el uso de la Cartografía Local Teorema, $F$ no es bijective en un pequeño barrio de 0.
4. $F$ es un no constante de la función que no tiene una singularidad esencial en a $\infty$ (porque es bijective), por lo tanto es un polinomio. Podemos escribir: $F(z) = az(\lambda_1 - z)...(\lambda_n - z)$ donde las expresiones lambda son la función de otras raíces, aparte de 0, pero sabemos que $f \neq 0$$F = az$.
5. Si 0 es un polo de $f$, definir $g(z) = \frac{1}{f}$. Desde aquí seguimos como antes para demostrar que $g = az$, por lo tanto $f = \frac{1}{az}$, que es lo que queríamos demostrar.