Estoy practicando la solución de los límites y el que yo estoy luchando actualmente es la siguiente: $$\ell =\lim_{x\to 0}\frac{\sin^{200}(x)}{x^{199}\sin(4x)}$$
Lo que he hecho:
Dado que este es un caso obvio de $0/0$ , he intentado utilizar de L'Hospital de la Regla de forma consecutiva, sólo para ver que tanto el numerador y el denominador crecer tanto en tamaño que cada uno podía caber en una fila. $$ \begin{align} l & =\lim_{x→0}{{\sin^{200}(x)}\over{x^{199}\sin(4x)}}\\ & = \lim_{x→0}{{200\sin^{199}(x)\cos(x)}\over{x^{198}\left(199\sin\left(4x\right)+4x\cos\left(4x\right)\right)}}\\ & = \lim_{x→0}{{39800\cos^2\left(x\right)\sin^{198}\left(x\right)-200\sin^{200}\left(x\right)}\over{x^{198}\left(800\cos\left(4x\right)-16x\sin\left(4x\right)\right)+198x^{197}\left(199\sin\left(4x\right)+4x\cos\left(4x\right)\right)}} \end{align} $$
Otra solución que probé fue a través de la manipulación y el uso de las identidades trigonométricas y fórmulas, pero fue en vano. Traté de sustituir:
- $\color{red}{\sin(4x)}$ $\color{blue}{4\sin(x)\cos(x) - 8\sin(3x)\cos(x)}$ y, a continuación,
- $\color{red}{8\sin(3x)\cos(x)}$ $\color{blue}{4\sin(4x)+4\sin(2x)}$. $$ \begin{align} l & =\lim_{x→0}{{\sin^{200}(x)}\over{x^{199}\sin(4x)}}\\ & =\lim_{x→0}{{\sin^{200}(x)}\over{x^{199}(4\sin(x)\cos(x) - 8\sin(3x)\cos(x))}}\\ & =\lim_{x→0}{{\sin^{200}(x)}\over{x^{199}(4\sin(x)\cos(x) - 4\sin(4x)+4\sin(2x))}}\\ \end{align} $$
No importa lo que yo trato, el límite sigue siendo $0/0$.
Pregunta:
¿El límite anterior existen? Si es así, lo que camino debo seguir para llegar a una solución?
