primaria abelian subgrupo finito de no-cíclico $p$-grupo

Question

Deje $G$ ser finito, no-cíclico $p$-grupo de orden $p^n$, $n >1$, donde $p$ es impar prime. Necesito demostrar(primaria métodos)que $G$ tiene un subgrupo isomorfo a $\Bbb{Z}_p \times \Bbb{Z}_p$?

Answer 1

Si $G$ es abelian, a continuación, $G$ tiene al menos dos subgrupos de orden $p$ como $H,K$. Por lo tanto $H \times K \cong \Bbb{Z}_p \times \Bbb{Z}_p $.

Ahora vamos a $G$ no es abelian. Utilizamos la inducción en $n$. Si todas máxima subgrupos de $G$ son cíclicos, a continuación,$G \cong Q_8$, una contradicción. Por lo tanto existe una no-cíclico subgrupo maximal de a $G$ como $H$. Por hipótesis de inducción $H$ tiene un no-cíclico de los subgrupos de orden $p^2$. Por lo tanto $G$ tiene un no-cíclico de los subgrupos de orden $p^2$.