Pregunta de la serie elemental

Question

¿Son estas series convergentes o divergentes?

$$ \sum_{}^\infty [\sin(\frac{n\pi}{6})]^n $$

y

$$\sum_{}^\infty [\sin(\frac{n\pi}{7})]^n $$

Answer 1

Los valores del seno pasan por un número finito de valores. Se puede ver fácilmente que $$\limsup_{n\rightarrow\infty} \left|\sin\left(\frac{n\pi}{6}\right)\right| = 1$$ mientras que $$\limsup_{n\rightarrow\infty} \left|\sin\left(\frac{n\pi}{7}\right)\right| < 1$$ Esto significa que la primera suma no puede converger mientras que la segunda suma será absolutamente convergente.

Answer 2

Tomando $\,n=3k\,\,,\,k\in\Bbb N\,\,,\,\,k\,\,\text{odd}$ obtenemos

$$\sin\frac{n\pi}{6}=\sin\frac{k\pi}{2}=\pm 1\Longrightarrow \sin^n\frac{n\pi}{2}\rlap{\;\;\;\;\;/}\xrightarrow [n\to\infty]{}0$$

por lo que la serie no puede converger.