Aunque soy nuevo en álgebra lineal, quiero estudiar con tanto rigor como sea posible. Después de buscar alrededor, me cogió Halmos' Finito Dimensionales Espacios Vectoriales y Axler del Álgebra Lineal se Hace la Derecha.
Me he dado cuenta de que el estado de teoremas que demuestran por un método que yo describiría como "algorítmico". Por ejemplo, el pie de la letra Axler (aunque Halmos es muy similar):
Teorema: En un finito-dimensional espacio vectorial, la longitud de cada lin. ind. tupla es $\leq$ a la longitud de cada tupla que abarca de vectores.
Prueba: Supongamos que ($u_1$, ... $u_m$) es lin. ind. en $\mathcal{V}$ y ($w_1$, ... $w_n$) abarca $\mathcal{V}$. Tenemos que demostrar a $m \leq n$. Lo hacemos a través de el proceso de múltiples pasos descritos a continuación....
Paso 1: La tupla $(w_1, ... w_n)$ abarca $\mathcal{V}$, y por lo tanto contigua a cualquier vector produce un linealmente dependiente de la tupla. En particular, la tupla $(u_1, w_1, ... w_n)$ es linealmente independiente. Por lo tanto, por la dependencia lineal lema, podemos eliminar una de las $w$'s de modo que la n-tupla B consta de $u_1$ y el restante $w$'s se extiende $\mathcal{V}$.
Paso j: La n-tupla B de paso $j-1$ abarca $\mathcal{V}$, y por lo tanto contigua a cualquier vector a se produce un linealmente dependiente de la tupla. En particular, el $(n+1)$-tupla obtenidos por contigua $u_j$ a B, lo coloca justo después de la $u_1,...u_{j-1},$ es linealmente dependiente. Por la dependencia lineal lema (2.4), uno de los vectores en este tupla es que en el lapso de los anteriores.... Nos puede quitar ese $w$$B$, de modo que el nuevo $n$-tupla $B$ consta de $u_1, ... u_j$ y el restante $w$'s se extiende $\mathcal{V}$.
Después del paso $m$, hemos añadido todas las $u$'s y se detiene el proceso. Si en algún paso hemos añadido un $u$ y no tenía más $w$'s a quitar, entonces tendríamos una contradicción. Por lo tanto, debe haber al menos como muchos de $w$'s $u$'s.
Discrepo con el nivel de rigor de los "algoritmos" de la prueba. Aunque creo que estas pruebas pueden ser susceptibles de tratamiento por inducción, no estoy seguro de cómo llevarla a cabo. Tal y como es, aunque tengo la intuición, que en realidad no convencer a mí.
Si yo tenía que ser precisos acerca de lo que me molesta, me gustaría decir que los conjuntos reales resultantes de cada paso de la operación no se indique explícitamente, y no estoy seguro de cómo estos conjuntos se han ordenado/a indexar (que jugar rápido y suelto).
(Revelación: en general estoy emocionado con ...'s, a menos que se puede ver de manera clara a venir para arriba con un argumento que no depende de imaginar "lo que está pasando allí", así que ocuparse de una decena de estos argumentos en una sola sesión es irritante para mí.)
Es allí una manera de hacer que estos argumentos - en particular, este todo en uno es más precisa?
