Encontrar todos los números primos tales que $a^2+b^2=9ab-13$.

Question

Deje $a,b$ ser primos. Encontrar todos los números primos tales que $a^2+b^2=9ab-13$.

Lo que he hecho es a partir de la comprobación de la paridad. Pero no puedo continuar con el caso cuando ambos $a,b$ son impares, números primos. He probado con algún modulo de persecución, pero no pudo completar.

Answer 1

es poco probable que esto se puede acabar... TODO entero soluciones en dos familias, relacionadas con la asignación de $$ (x,y) \mapsto (9x-y, x) $$ comienzo con dos "semillas" $$ (1,2), \; \; (7,1) , \;\; ( 62,7), \;\; ( 551, 62), \;\; $$ $$ (2,1), \; \; (17,2) , \;\; ( 151,17), \;\; ( 1342, 151), \;\; (11927, 1342), \;\; $$ basta con retirar $x,y > 0,$ como no podemos tener una solución con $xy \leq 0$

Para cada una de las órbitas, hemos separado lineal recurrencias ( por Cayley-Hamilton), $$ x_{n+2} = 9 x_{n+1} - x_n, $$ $$ y_{n+2} = 9 y_{n+1} - y_n. $$ $$ 2p, \; 17p, \; 151p, \; 1342, \; 11927p, \; 106001, \; 942082, \; 8372737p, \;74412551, \; 661340222, \; 5877649447p, \; 52237504801, \; 464259893762, \; 4126101539057, $$ Aquí vemos los números primos consecutivos $17, 151$ que es probablemente el más grande de la respuesta. $$ 1, \; 7p, \; 62, \; 551, \; 4897, \; 43522, \; 386801, \; 3437687, \; 30552382, \; 271533751, \; 2413251377, \; 21447728642, \; 190616306401, \; 1694099028967, $$

===============================

1
2   Prime  ! 
17   Prime  ! 
151   Prime  ! 
1342
11927   Prime  ! 
106001
942082
8372737   Prime  ! 
74412551
661340222
5877649447   Prime  ! 
52237504801
464259893762
4126101539057
36670653957751
325909784080702
2896517402768567
25742746840836401
228788204164759042
2033351090641994977
18071371611613195751
160608993413876766782
1427409569113277705287
12686077128605622580801
112747284588337325521922
1002039484166430307116497
8905608072909535438526551
79148433172019388639622462
703430290475264962318075607   Prime  ! 
6251724181105365272223058001
55562087339473022487689446402
493807061874151837116981959617
4388701469527893511565148190151
39004506163876889766969351751742
346651854005364114391159017575527
3080862179884400139753461806428001
27381107764954237143389997240276482
243349107704703734150756513356060337
2162760861577379370213418622964266551
19221498646491710597770011093322338622

================================

1
7   Prime  ! 
62
551
4897
43522
386801
3437687
30552382
271533751
2413251377
21447728642
190616306401
1694099028967
15056274954302
133812375559751
1189255105083457
10569483570191362
93936097026638801
834855389669557847   Prime  ! 
7419762409999381822
65943006300324878551
586067294292924525137
5208662642335995847682
46291896486731038104001   Prime  ! 
411418405738243347088327
3656473755157459085690942
32496845390678888424130151
288815134760952536731480417
2566839367457893942159193602
22812739172360092942701262001
202747813183782942542152164407
1801917579481686389936668217662
16014510402151394566887861794551
142328676039880864712054087933297
1264943573956776387841598929605122
11242163489571106625862336278512801
99914527832183183244919427577010087
887988587000077542578412511914577982
7891982755168514699960793179654191751
70139856209516554757068726104973147777

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Answer 2

No es una respuesta completa, sólo un par de restricciones...

Proposición 1. Para cualquier prime $p>3 \Rightarrow 3 \mid p^2-1$ (de la LFT) y $8 \mid p^2-1$ ( $(2k+1)^2 \equiv 1 \pmod{8}$ ). Como resultado $24 \mid p^2-1$.

Para $a>3,b>3 \Rightarrow 24 \mid a^2-1$, $24 \mid b^2-1$ y $$24 \mid a^2 + b^2 -2=9ab-15$$ o $$8 \mid 3ab-5 \tag{1}$$ Pero, de cualquier prime $p>3$ es de la $p=4k+1$ o $p=4k+3$ formulario. Ninguno de $a,b$ puede ser de la misma forma al mismo tiempo:

• $a=4k_a+1,b=4k_b+1 \Rightarrow 3ab-5=3(4k_a+1)(4k_b+1)-5=12Q-2$ no es divisible por 4 y por lo tanto no divisible por 8.
• $a=4k_a+3,b=4k_b+3 \Rightarrow 3ab-5=3(4k_a+3)(4k_b+3)-5=12Q-22$ no es divisible por 4 y por lo tanto no divisible por 8.

Como resultado, ya sea $$a=4k_a+1,b=4k_b+3 \color{red}{\text{ or }} a=4k_a+3,b=4k_b+1 \tag{2}$$ Ir más allá: $$3ab-5=3(4k_a+1)(4k_b+3)-5=3(16k_ak_b+12k_a+4k_b)+4$$ revela que tanto $k_a,k_b$ no puede ser par o impar al mismo tiempo.

También podemos suponer $a\leq b$ e de $a^2+b^2-9ab=-13<0$, marcando $x^2-9x+1<0$ donde $x=\frac{b}{a}$, tenemos $$a\leq b < 9a \tag{3}$$