Integrar a $u_t - \Delta u = 0$ conseguir $\frac12 \frac{d}{dt} \int_{\Omega} u^2 + \int_{\Omega}|\nabla u|^2 = 0$?

Question

En mi PDE clase, mi instructor escribió las siguientes notas:

Considere la posibilidad de ecuaciones $u_t - \Delta u = 0$ $\Omega$ donde $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ está acotada. Supongamos que las condiciones de contorno $u = u_0(x)$$t=0$, e $u=0$$\partial \Omega$.

Multiplicando la ecuación por $u$ e integrando por partes da

$$\frac12 \frac{d}{dt} \int_{\Omega} u^2 + \int_{\Omega}|\nabla u|^2 = 0$$

(sin límite de términos, el uso de la ac). Esto muestra ya

$$\frac{d}{dt} \int_{\Omega}u^2 \leq 0 \tag{1}$$

lo que da singularidad, ya que el problema es lineal (lo que la diferencia de dos soluciones tiene datos iniciales 0).

Mis Preguntas:

1. Yo no estoy viendo la integración por partes aquí, ¿alguien puede hablar de mí a través de él?
2. ¿Cómo podemos deducir (1)?
3. ¿Cómo (1) mostrar la singularidad?

Gracias por tu ayuda, los detalles son eludir mí aquí.

Answer 1

Multiplicar por $u$: $$uu_t -u\Delta u = 0$$ Integrar $$\int uu_t -\int u\Delta u = 0$$ Reescribir como $$\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\int u^2+\int |\nabla u|^2= 0$$ donde solía Verde del teorema en el segundo término. Saqué la $\frac{d}{dt}$ desde el integral es más de espacio. Mover el segundo término en el lado derecho. $$\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\int u^2=-\int |\nabla u|^2 \leq 0$$ con la desigualdad porque el integrando es siempre positivo, y el signo menos fuera hace negativa.

Unicidad: supongamos que hay 2 soluciones de $u_1$ $u_2$ resolver el problema. Así que la diferencia satisface $$(u_1-u_2)_t - \Delta (u_1-u_2) = 0$$ $$u_1-u_2 = u_0 - u_0 = 0 \qquad\text{at $t=0$}$$ y $u_1-u_2=0$$\partial \Omega.$, Entonces es claro, que la estimación de (1) también lleva a cabo con esta diferencia: $$\frac{d}{dt}\int_{\Omega} (u_1(t)-u_2(t))^2 \leq 0$$ Ahora la cosa está diferenciando es una función positiva, que es cero en $t=0$. Su derivada es siempre negativo, por lo que debe de cero en casi todas partes (dibujar un gráfico). Por lo tanto $u_1 = u_2$ para casi todas las $t$.