El comportamiento de explosivos proceso aleatorio

Question

Inspirado de alguna manera por este problema, he estado investigando el comportamiento bajo iteración de la siguiente aleatorio discreto proceso:

Dado $n\in\mathbb{N}$, elegir un número entero de $\{0,1,\ldots,n\}$ uniformemente al azar, y se multiplican $n$.

El proceso de una.s. sea llega a su punto fijo, $0$, o diverge a infinito. (La única otra posibilidad, que $n$ se queda para siempre en algún valor que no sea cero, claramente tiene probabilidad cero.) Cuando diverge a infinito, lo hace rápidamente: su valor promedio crece super-exponencialmente con el número de pasos. Estoy interesado en la probabilidad de que el proceso de llegar a $0$, y en los casos en que se llega a la $0$, el mayor valor se alcanzó.

Deje $p(n)$ la probabilidad de alcanzar $0$ a partir de $n$. Entonces tenemos $$ p(n) = \frac{1}{n+1}\left(1 + \sum_{k=1}^n p(kn)\right), $$ o $$ p(n) = \frac{1}{n} + \frac{1}{n}\sum_{k=2}^n p(kn). $$

Tenemos $p(n) \ge 1/n$ inmediatamente; la alimentación de esto en el da un mejor límite inferior de $$ p(n) \ge \frac{1}{n}\left(1 + \sum_{k=2}^{n}\frac{1}{kn}\right) = \frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\left(H_{n}-1\right), $$ donde $H_n$ $n$- ésimo número armónico. El límite inferior puede ser mejorado mediante la repetición de este proceso; puede un útil asintótica de expansión para $p(n)$, o incluso una forma cerrada, se derivan?

Igualmente, os $q(n)$ ser el valor esperado inmediatamente anterior a $0$ entre las secuencias finales que comienzan a partir de $n$. Es claro a partir de la definición que $q(n)\ge n$, y la simulación numérica sugiere que $q(n) \sim K n$ para algunas constantes $K$. Puede $q(n)$ dará un asintótica de expansión? ¿Cuál es el valor de la constante K?

Answer 1

Me escribió el siguiente comentario (ahora corregido por haber sido $1-p(n)$):

Me imagino que para un gran $n$, casi nunca fallan si no es en el primer intento, así que imagino que $p(n)\sim \frac 1n$ y, por tanto,$K=1$. Esto es debido a que para la gran n que casi seguro que multiplicar por un gran número. Pero "casi" aquí no es (bastante) "con una probabilidad de 1"

Si nos lo tomamos demasiado en serio y tratar de repetir, diríamos $p(kn)=\frac 1{kn}$. Ponerlo en su primera ecuación tenemos $p(n)=\frac 1{n+1}\left(1+\sum_{k=1}^n \frac 1{kn}\right)=\frac 1{n+1}+\frac{H_n}{n(n+1)}\approx \frac 1{n+1}(1+\frac {\ln n}{n})$, lo que parece estar convergiendo rápidamente por un gran $n$. Esto es todavía salvaje handwaving, pero podría ayudar.

En esta imagen, la probabilidad de que nunca conseguimos mayor que $n$ es simplemente la probabilidad de que hemos alcanzado un cierto número de $1$'s (quizás ninguno) y, a continuación, un cero. Esto es $\sum_{i=1}^\infty \frac 1{n+1}=\frac 1n$. La oportunidad que tenemos mayor que $n$ y, a continuación, golpeó a cero es todo el resto, que es $\frac 1n-\frac 1{n+1}(1+\frac {\ln n}{n})=\frac {1+\ln n}{n(n+1)}$. La posibilidad de que llegamos a $2n$ y no más es la posibilidad de que llegamos a un número de 1, 2, algo más de 1, y un cero. Esto es $(\sum_{i=0}^\infty\frac 1{n+1})\frac 1{n+1}(\sum_{i=0}^\infty\frac 1{2n+1})\frac 1{2n+1}=\frac 1{n(n+1)2n(2n+1)}$ que ya es $n^{-4}$, así que creo que $\lim_{n \to \infty} \frac {q(n)}n=1$