Problema con un límite y el infinito intersección de conjuntos abiertos

Question

Probablemente, esta es realmente una pregunta estúpida, pero es molesto conmigo por un tiempo y todavía no puedo encontrar una respuesta que me convenza.

Sabemos que $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} = 0$.

Pero, en mi conferencia, vimos que $\{0\} = \bigcap_{n=1}^{\infty} \left(-\frac{1}{n} , \frac{1}{n} \right) \subset \mathbb{R}$.

Lo que no entiendo es, ¿por qué no el por encima de la intersección igual a $(0,0)$, es decir, el conjunto vacío? De nuevo, lo siento si esto es realmente estúpido. Alguien me dijo que es porque $\frac{1}{n}$ se aproxima a 0, pero nunca es igual a $0$, pero entonces ¿por qué habría de $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{n}$ ser igual a 0?

Gracias de antemano por cualquier ayuda!

Answer 1

La intersección de una cantidad infinita de conjuntos se define como los elementos presentes en cada conjunto.

$0$ está en cada conjunto de la forma $\left( -\dfrac1n, \dfrac1n \right)$, por lo que es también en su intersección.

No hay reglas diciendo que arbitraria intersecciones de conjunto abierto debe ser abierta, y esto es un contra-ejemplo.

Answer 2

No aplicar el límite de los números, lo $ \bigcap_{n=1}^{\infty} \left(-\frac{1}{n} , \frac{1}{n} \right) \subset \mathbb{R}$ significa es que es un conjunto de todos los elementos que contiene todos los conjuntos de $(-1/n, 1/n) $ todos los $n \in \mathbb N$.

Así pues, sólo se $0$ satisface.

Aviso que, naturalmente, podría definir arbitrariamente el número de intersecciones y uniones, incluso una cantidad no numerable es fino, por lo tanto no hay límite es necesario - $\infty$ en su fórmula es sólo una notación diciendo que tomamos $n$ para todos los números naturales.

Answer 3

Porque el límite es el valor donde hay una infinidad de intervalos "alrededor de", en este caso, usted puede escoger cualquier $\epsilon>0$ que $1/x_{n}$ se queda en $(0-\epsilon,0+\epsilon)$ todos los $n> N(\epsilon)$ (al$x_{n}$$\infty$).

Y así, la intersección siempre contienen $0$ porque es un intervalo abierto (barrio de $0$).

Lo siento por mi mal inglés, espero que mi respuesta te ayuda.