De manera eficiente el cálculo de la fuerza gravitacional de la cáscara esférica

Question

Estoy leyendo Kolenkow y Kleppner de la Mecánica Clásica y que han tratado de calcular la fuerza gravitacional entre un uniforme delgada cáscara esférica de masa $M$ y una partícula de masa $m$ ubicado a una distancia $r$ desde el centro.

El shell se ha dividido en estrecha anillos.$R$ ha asumido ser el radio de la concha, con un espesor $t$ ($t<<R$). El anillo en el ángulo $\theta$ que subtienda ángulo de $d\theta$ ha circunferencia $2\pi R\sin\theta$. El volumen es $dV=2\pi R^2t\sin \theta d\theta$ y su masa es $pdV=2\pi R^2t\rho\sin\theta d\theta$. Si $\alpha$ ser el ángulo entre el vector de fuerza y la línea de centros de, $$dF=\frac{Gm\rho dV}{r'^2}\cos\alpha$$ where $r'$ is the distance of each part of the ring from $m$.

Siguiente, una integración ha llevado a cabo utilizando $\cos\alpha=\frac{r-R\cos\theta}{r'}$$r'=\sqrt{r'^2+R^2-2\pi R\cos\theta}$.

Pregunta: me gustaría evitar estos cálculos y me preguntaba si existe una solución mejor.

Answer 1

Sí, existe un método más fácil, aunque el razonamiento es bastante sutil. Debido a que usted está leyendo Kleppner, espero que podamos dar por sentado la fórmula de que el campo fuera de una masa esférica es exactamente la misma que debido a la igualdad de pt. masa guardan en el centro de la shell (también se puede utilizar el de Gauss la ley de la gravitación para probar esto).

Ahora, tenemos que hacer un uso inteligente de la tercera ley de Newton. Vamos a calcular la fuerza ejercida sobre una esfera de masa M de una partícula de masa m situada a una distancia r desde el centro. En lugar de hacer eso, nos encontramos con la fuerza ejercida por la esfera de masa m. Pero mientras que su campo es el ser de que se trate, la esfera sólo se comporta como un mismo punto de la masa guardan en el centro (como se indica más arriba). Así, la fuerza sobre la masa m es simplemente GMm/r^2. Esto, por la Tercera Ley de Newton, es también la fuerza de la masa m en M.

Esperanza usted tiene su respuesta.

Answer 2

Esto es, básicamente, una prueba de la Shell teorema de

Simple. En primer lugar, usted debe saber que las fuerzas gravitacionales que se superponen.

Ok. En primer lugar, calcular la fuerza a una distancia $r$ desde el origen para una esfera de masa $M$ y radio de $R$. Usted debe obtener el resultado que se $\frac{GMm}{r}$ si $r\geq R$, 0 en caso contrario. Este es un libro de texto estándar de la fórmula.

Ok, ahora, pretender que la cáscara se hace de una esfera de mayor tamaño con un resultado positivo de la masa y una pequeña esfera con "negativo" de la masa que cancela toda la masa, excepto una capa de espesor $t$ en el exterior. Si usted se siente incómodo haciendo esto, convertirlo en un problema de la electrostática, calcular la fórmula con un método similar, convertirlos de nuevo.

Sabiendo $M,R,t$, se puede calcular las masas y los radios de la componente de las esferas. Ambos tienen magnitudes iguales de densidad.

Ahora, para calcular la fuerza en $r$, y superponer los dos, teniendo cuidado de restar la fuerza del interior "negativo" de la esfera.

Eso es todo. Usted tiene (ab)utiliza el principio de superposición para calcular esta fuerza, que es la respuesta final (tendrá tres casos-el campo gravitatorio en el interior será 0).

El más difícil de tratar para evitar la integración, el más divertido de newton mechanocs se hace :)

Estoy en el móvil ahora mismo (difícil añadir matemáticas) si quieres voy a poner más de matemáticas en la respuesta mañana.