Un nilpotent matriz implica AB es nilpotent?

Question

Problema: Demostrar que si a y B son n×n nilpotent de las matrices que conmutan, entonces AB es también nilpotent

Terminé probando que si a o B es nilpotent, entonces AB es nilpotent, así que usted no necesita a ambas matrices se nilpotent. Es mi prueba correcta? Mi prueba parece una especie de trivial, así que no estoy seguro de si es correcto.

Supongamos que m >= 1. Si es nilpotent, a continuación,$A^m = 0$. Por lo tanto $A^m*B^m=0$ por lo tanto $(AB)^m=0$ (Muestra de la pregunta anterior.)

Answer 1

Usted necesita tener cuidado. Usted está estableciendo $m$ a ser un entero positivo arbitrario afirmar que $A^m=0$. Lo que si había tomado $m=1$? Sin duda hay matrices $A$ $A^2=0$ pero $A^1\neq0$.

He aquí cómo usted debería palabra es: $A$ es nilpotent, por lo $m\ge1$ tenemos $A^m=0$. Entonces [el resto de la prueba, lo cual está bien].