¿Hay alguna diferencia entre
$(\forall e) ((\exists N=N(e)) (P(N,e)))$ .
y
$(\forall e) ((\exists N)(P(N,e)))$
¿Debemos interpretar estas dos afirmaciones de forma diferente? ¿Qué significa $N=N(e)$ ¿Qué significa? Para mí está claro que $N$ depende de alguna manera de $e$ de ambas declaraciones.
Tratando de transmitir en palabras más o menos convencionales sus fórmulas, podemos decir que la primera dice "Para todos los $\,e\,$ existe una función $\,N\,$ de $\,e\,$ s.t. $\,P(N,e)\,$ , mientras que la segunda omite las palabras "una función" anteriores.
Estamos asumiendo, por supuesto, que todo el mundo sabe qué tipo de seres $\,N,e ,P\,$ etc. son...
La segunda formulación es totalmente rigurosa. La primera formulación pretende subrayar el hecho de que N puede depender de e, y al hacerlo sacrifica el rigor. Esto es inútil, ya que el hecho de que N pueda depender de e viene indicado de forma no ambigua por el orden de los cuantificadores.
Se puede aconsejar atenerse a la segunda forma y añadir después una formulación similar a: Sea N(e) un N tal que P(N,e) se cumple .
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