Mostrando que $\dfrac{q^n -1}{(q-1)\gcd(n,q-1)}$ es un número entero para $q = p^k$, $p$ prime.

Question

¿Alguien sabe cómo demostrar que $\dfrac{q^n -1}{(q-1)\gcd(n,q-1)}$ es un número entero para $q = p^k$, $p$ el primer uso de sólo el álgebra básica?

Es posible mostrar esta por mostrar que existe un subgrupo de $C$ $\mathbb{F}_{q^n}^*$ tal que $ \#C = (q-1)\gcd(n,q-1)$, pero es posible encontrar una simple prueba?

Answer 1

En el modulo $\gcd(n,q-1)$ tenemos:

\begin{align*} \frac{q^n-1}{q-1} & = q^{n-1} + \cdots + q + 1 \\ & = 1 + \cdots + 1 + 1 \\ & \equiv n \ \equiv \ 0 \end{align*}