Demostrar que $[0]$ $[1]$ son los dos únicos idempotente elementos de $\mathbb{Z}_p$

Question

Así que tengo que demostrar que demostrar que $[0]$ $[1]$ son los dos únicos idempotente elementos de $\mathbb{Z}_p$.

Aquí es cómo mi prueba:

Supongamos que existe otro elemento idempotente de $\mathbb{Z}_p$ a que llamamos $[a]$ donde$[a]\neq [0]$$[1]$. Más $1<[a]<[p]$. Pero desde $p\geq 2$ se sigue que $2\leq[a]<[p]$, una contradicción al $p=2$.

No estoy seguro si esto es correcto o no. No creo que su correcto si no una pequeña sugerencia, sería de ayuda. Gracias

Edit: Nueva Prueba:

Supongamos que existe otro elemento idempotente llamarlo $[a]$ tal que ${[a]}^2=[a]$. También se $a \neq 0$$a \neq 1$. Deje $x\in[a]$ entonces lo que sigue es $x \equiv a \pmod{p} \iff p|(x-a) \iff ps=x-a$ algunos $s\in\mathbb{Z}$ $x \equiv a^2 \pmod{p} \iff p|(x-a^2) \iff pt=x-a^2$ algunos $t\in\mathbb{Z}$. De ello se desprende que $ps-pt= a^2-a \implies p|(a^2-a) \iff a^2-a \equiv 0 \pmod {p}$. De ello se desprende que desde $p|(a^2-a)$, entonces por Euclides del lema llegamos $p|a$ o $p|(a-1)$. En otras palabras $a \equiv 0 \pmod{p}$ o $a \equiv 1 \pmod{p}$. Una contradicción ya que el $a<p$ ( desde $a$ conforman la congruencia de las clases de $\mathbb{Z}_p$ y desde $a\neq 1$$a \neq 0$ .Por lo tanto $a=0$ o $a=1$ son los dos únicos idempotente elementos en $\mathbb{Z}_p$

Answer 1

Si $F$ es cualquier campo, y $e \in F$ es idempotente, entonces, por definición,$e^2 = e$. Ahora si $e \ne 0$, multiplicando por ser $e^{-1}$ rendimientos $e = 1$. QED.

Es en realidad mucho más general:

Si $F$ es una parte integral de dominio, escriba $e^2 - e = e(e - 1) = 0$; ahora si $e \ne 0$, de nuevo tenemos $e = 1$.

Si $F$ es un anillo de división, los mismos argumentos se aplican.

Es de suponer que la lista de tipos de anillos para que $0, 1$ son la única idempotents continúa . . .

Answer 2

Sugerencia: Demostrar que las únicas soluciones de la congruencia $x(x-1)\equiv 0\pmod{p}$ se dan por $x\equiv 0\pmod{p}$$x-1\equiv 0\pmod{p}$. Si un primer divide a un producto de $\dots$.