Esta pregunta tiene varias respuestas ya, pero aquí está mi intento de explicación que evita diferencial de las formas de notación, y hace hincapié en que estamos usando en el multivariable regla de la cadena en sentido inverso.
Considere la posibilidad de la educación a distancia
\begin{equation}
p(x,y(x)) + q(x,y(x)) y'(x) = 0.
\end{equation}
(Suponga que la $p$ $q$ son continuamente diferenciables en un rectángulo $R = (a,b) \times (c,d)$.)
Si podemos encontrar una función de $F$ tal que $\frac{\partial F}{\partial x} = p$$\frac{\partial F}{\partial y} = q$, entonces (por la multivariable regla de la cadena)
\begin{align}
\frac{d}{dx} \, F(x,y(x)) &= \frac{\partial F(x,y(x))}{\partial x} + \frac{\partial F(x,y(x))}{\partial y} y'(x) \\
&= p(x,y(x)) + q(x,y(x)) y'(x)
\end{align}
y nuestra educación a distancia puede ser escrito como
\begin{equation}
\frac{d}{dx} \, F(x,y(x)) = 0.
\end{equation}
Ahora podemos tomar anti-derivados de ambos lados para obtener
\begin{equation}
F(x,y(x)) = k
\end{equation}
(para algunas constantes $k$) y resolver para $y(x)$.
Cuando es posible encontrar una función de $F$? Una observación es que si ese $F$ existe,$\frac{\partial^2 F}{\partial y \partial x} = \frac{\partial p}{\partial y}$, e $\frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y} = \frac{\partial q}{\partial x}$. Por la igualdad de la mezcla de los parciales, vemos que
\begin{equation}
\frac{\partial p}{\partial y} = \frac{\partial q}{\partial x}.
\end{equation}
Esta es una necesaria condición para que un $F$ a existir. Cuando esta condición se cumple, nuestra ODA se dice que es "exacta".
Resulta que esta condición es también suficiente. Para ver esto, supongamos que $\frac{\partial p}{\partial y} = \frac{\partial q}{\partial x}$, y vamos a encontrar una $F$ que funciona.
Deje $P$ ser un anti-derivado de la $p$ con respecto al $x$. De la necesidad de que $\frac{\partial F}{\partial x} = p$, obtenemos
\begin{equation}
F(x,y) = P(x,y) + C(y)
\end{equation}
para alguna función $C(y)$. ($y$ está siendo utilizado como una "variable ficticia".)
El requisito de que $\frac{\partial F}{\partial y} = q$ nos da
\begin{align}
\frac{\partial F(x,y)}{\partial y} &= \frac{\partial P(x,y)}{\partial y} + C'(y) \\
&= q(x,y)
\end{align}
lo que implica que
\begin{equation}
C'(y) = q(x,y) - \frac{\partial P(x,y)}{\partial y}.
\end{equation}
Esta ecuación puede parecer imposible al principio, porque el lado derecho, al parecer depende de $x$, mientras que el lado izquierdo sólo depende de $y$. Sin embargo, si se toma la derivada del lado derecho con respecto a $x$, y el uso de nuestra suposición de que $\frac{\partial p}{\partial y} = \frac{\partial q}{\partial x}$, consigue $0$. Esto demuestra que el lado derecho en realidad no depende de la $x$, después de todo.
En resumen, para encontrar $F$, vamos a $P$ ser un anti-derivado de la $p$ con respecto al $x$, pick $C(y)$ tal que $C'(y) = q(x,y) - \frac{\partial P(x,y)}{\partial y}$,
y deje $F(x,y) = P(x,y) + C(y)$.
Alternativamente, se podría dejar el $Q$ ser un anti-derivado de la $q$ con respecto al $y$, y encontrar una $F$ de la forma $F(x,y) = Q(x,y) + C(x)$.
En el problema en esta cuestión, hemos
\begin{equation}
p(x,y) = 2xy^2 + \cos(x)
\end{equation}
y
\begin{equation}
q(x,y) = 2x^2y + \sin(y).
\end{equation}
Tenga en cuenta que $\frac{\partial p(x,y)}{\partial y} = \frac{\partial q(x,y)}{\partial x} = 4xy$, por lo que la educación a distancia es exacta.
$P(x,y) = x^2 y^2 + \sin(x)$ es un anti-derivado de la $p$ con respecto al $x$. Queremos encontrar a $C(y)$ tal que
\begin{align}
C'(y) &= q(x,y) - \frac{\partial P(x,y)}{\partial y} \\
&= 2x^2 y + \sin(y) - 2x^2 y \\
&= \sin(y).
\end{align}
Así que vamos a $C(y) = -\cos(y)$, y vamos a
\begin{align}
F(x,y) &= P(x,y) + C(y) \\
&= x^2 y^2 + \sin(x) - \cos(y).
\end{align}
A continuación, $\frac{\partial F}{\partial x} = p$ y
$\frac{\partial F}{\partial y} = q$. La solución a nuestros ODE
$F(x,y(x)) = k$, o en otras palabras
\begin{equation}
x^2 \, y(x)^2 + \sin(x) - \cos(y(x)) = k.
\end{equation}
