Multiplicador de Lagrange signo problema

Question

Cuando uno tiene una función de varias variables $f(x_1,\dotsc,x_n)$ y quiere encontrar a sus máximos y mínimos en un subconjunto de a $\mathbb{R}^n$ definido por $f_1(x_1,\dotsc,x_n)=c_1,\dotsc,f_k(x_1,\dotsc,x_n)=c_k$$k\leq n$, se puede utilizar el método de multiplicadores de Lagrange. Cuando me hice mi Análisis de 2 platos, se me enseñó que tenía que definir:

$$g(x_1,\dotsc,x_n,\lambda_1,\dotsc,\lambda_k)=f(x_1,\dotsc,x_n)+\sum_{i=1}^k\lambda_k(f_k(x_1,\dotsc,x_n)-c_k),$$

y encontrar los máximos y los mínimos de $g$. Ahora he estado ayudando a un amigo mío que es el estudio de la economía, y su maestro le enseñó a poner un signo menos delante de la suma, no es un plus. Entonces, ¿cuál es el signo correcto, menos o más? Hace alguna diferencia si puedo usar uno en lugar del otro? Me parece que es así.

Answer 1

Cuando una condición de $F(x_1,\ldots, x_n)=c$ sólo define un conjunto, luego de este conjunto puede ser definido por la condición $G(x_1,\ldots, x_n)=-c$ donde $G:=-F$. El uso de la primera forma y la función de Lagrange $\Phi:=f-\lambda F$ va a producir de forma condicional puntos estacionarios y un $\lambda$-valor para cada uno de ellos. Usando el mismo principio, con la segunda forma de la enfermedad, es decir, poniendo a $\Phi:=f-\lambda G$ va a producir el mismo condicionalmente puntos estacionarios, pero los $\lambda$-valores ahora tienen el signo opuesto. En la mayoría de los ejemplos de análisis multivariante el obtenido $\lambda$-valor es tirado de todos modos, no tiene sentido geométrico.

En economía las cosas son diferentes. Aquí una superficie de $F(x_1,\ldots, x_n)=c$ separa los estados donde algunas buenas cuesta menos de $c$ de los estados en los que cuesta más de $c$. De ello se desprende que la dirección de la $\nabla F$ lleva económico de información que no deben ser arrojadas a la basura. Por lo tanto, vale la pena ocuparse de el signo de $\lambda$. Yo no soy un matemático, economista, de donde no puedo decir cuál es la exacta convenciones.

Answer 2

No hay derecho 'signo', usted sólo tiene que encontrar los valores de $\lambda$ con signos opuestos, pero ya que estás interesado en los puntos críticos (para encontrar la min/max), el signo de $\lambda$ no es relevante. No va a influir en los puntos críticos vas a encontrar a la hora de resolver el sistema.