Encontrar los ceros de $h(z)=z^6-5z^4+3z^2-1$ dentro de la unidad de disco Verificación

Question

Deje $h(z)=z^6-5z^4+3z^2-1$.

El uso del teorema de Rouch, con $f(z)=-5z^4$$g(z)=z^6+3z^2-1$.

En la unidad de disco $\lvert f(z) \rvert =5 > \lvert 1+3-1 \rvert=\lvert g(z)\rvert $

Y el número de ceros es de 4 $f(z)$ en la unidad de disco, por lo que también es de cinco por $h(z)=f(z)+g(z)$.

Es esto correcto? Gracias.

Encontró una vieja respuesta de la mía, me eligió $g(z)=z^6-1$$f(z)=-5z^4+3z^2$, y obtuvo la respuesta $4$ raíces de nuevo.

Answer 1

Su primer acercamiento con $f(z) = -5z^4$ $g(z) = z^6 + 3z^2 - 1$ no trabaja, porque la $g(i) = -1 - 3 - 1 = - 5$, por lo tanto $|f(i)| = |g(i)|$

Así que usted no tiene una desigualdad estricta en la frontera de la región. Cierto que $|f(z)| >= |g(z)|$, pero eso no es suficiente para Rouch del teorema.

En el examen, su elección de las funciones que hace el trabajo para la aplicación del teorema de Rouch! Tomando $f(z) = -5z^4 + 3z^2$$g(z) = z^6 -1$, ahora tenemos que $|f(z)|$ toma mínimo de $2$ cuando y sólo cuando $z^2$ es real, pero en esos puntos de $|g(z)|$ también está en su mínimo de $0$. Mientras tanto $|g(z)|$ se lleva a su máximo en $2$, pero esto nunca sucede al $z^2$ es real. Llegamos a la conclusión de que $|f(z)| > |g(z)|$ en todas partes.

Y $f(z)$ tiene todos los cuatro de sus raíces en el círculo unidad $(0, \pm\sqrt\frac{3}{5})$