Cómo definir una derivada parcial invariantly?

Question

Deje $M$ ser suave, un colector y $f$, $g$ ser suave funciones del vecindario de un punto $x_0\in M$, $\nabla g\ne0$.

1) ¿Cómo se definen $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial g}$ invariantly? Si $M$ es un domaqin en $\mathbb R^n$, entonces la derivada en la dirección de la $\nabla g$ parece dar una respuesta: $\displaystyle \frac{(\nabla f,\nabla g)}{|\nabla g|^2}$. Pero para calcular el $\nabla g$ $|\nabla g|$ en un colector uno necesita una métrica. De otro lado, si consideramos suave coordenadas $(g_1=g, g_2,\ldots,g_n)$ en algunos vecindario de $x_0$, entonces las derivadas parciales $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial g}$ parecen estar definidas en el modo estándar. Pero surge la pregunta, ¿el valor de $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial g}$ ser independiente de la elección de $ g_2,\ldots,g_n$? Si no, ¿cuáles son la manera correcta de hacer? ¿Hay alguna referencia?

2) Deje $f_1, f_2,\ldots,f_n$ ser un suave coordenadas en un vecindario de $x_0$. ¿Cuál es el objeto de $(\displaystyle \frac{\partial f_1}{\partial g},\ldots,\frac{\partial f_n}{\partial g})$? Sería por alguna casualidad una sección de un buen haz de fibras? ¿Hay alguna referencia donde tales objetos se consideran?

Gracias de antemano!

Además de 27 de mayo de

Supongo que ahora hay una métrica de riemann en $M$. Entonces, ¿qué podría ser más natural de la definición de derivada parcial $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial g}$? Para expample, para tomar $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial g}=df(\nabla g)=(df,*dg)$ parece que no la derecha, ya que significaría $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial g}=\displaystyle \frac{\partial g}{\partial f}$. Si tomamos $\displaystyle \frac{(\nabla f,\nabla g)}{|\nabla g|}$ sería una especie de derivada direccional. Así que la pregunta correcta a mí me parece que aquí está lo que el valor de $a$ es mejor tomar para $\displaystyle \frac{(\nabla f,\nabla g)}{|\nabla g|^a}$ a ser una derivada parcial? O no existe la "mejor" opción? Traté de aplicar el análisis dimensional y parece $a=1$ es la opción para que el resultado sea como $\nabla f$ pero no estoy seguro de porque puede ser que uno tiene que ceder algunos dimensión métrica.

Answer 1

Esta es sólo una respuesta parcial, pero que podría considerarse adecuada para esta pregunta. :)

Derivadas parciales sólo puede ser definido si usted tiene un sistema de coordenadas: varían de una coordenada, manteniendo todos los demás fija. Así que sí, definitivamente depende de la elección de $g_2,\dots,g_n$.

Answer 2

Yo tenía que pensar de esto recientemente. Mi conclusión fue que no se puede hacer: el invariante de objetos es $dg$, y pasar de las $dg$ $\dfrac{\partial}{\partial g}$usted necesita para elegir un isomorfismo de la cotangente del espacio al espacio de la tangente. Esto se puede hacer si, por ejemplo, elegir una base para el espacio cotangente o tener un (pseudo-)métrica de Riemann.

En total: Vamos a $M$ ser un suave colector (sin límite) y deje $g_1, \ldots, g_n : U \to \mathbb{R}$ ser una familia de lisa funciones definidas en algún conjunto abierto $U \subseteq M$. Entonces, si en $p \in U$ los diferenciales $dg_1, \ldots, dg_n$ forman una base del espacio cotangente $T^*_p M$, por el teorema de la función inversa, $(g_1, \ldots, g_n) : U \to \mathbb{R}^n$ es localmente invertible con suave inversa. Podemos, por tanto, asumen $U$ es lo suficientemente pequeño que $(g_1, \ldots, g_n) : U \to \mathbb{R}^n$ es un diffeomorphism a su imagen, y la base dual $\dfrac{\partial}{\partial g_1}, \ldots, \dfrac{\partial}{\partial g_n}$ es justo lo que esperan que en virtud de este gráfico. Si tenemos un gráfico de $(\tilde{g}_1, \ldots, \tilde{g}_n)$, luego tenemos a la relación $$\dfrac{\partial}{\partial \tilde{g}_j} = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{\partial g_k}{\partial \tilde{g}_j} \dfrac{\partial}{\partial g_k}$$ así, en particular, incluso si se establece la $g_1 = \tilde{g}_1$, en general $\dfrac{\partial}{\partial g_1} \ne \dfrac{\partial}{\partial \tilde{g}_1}$, aunque $dg_1 = d\tilde{g}_1$!

En cuanto a tu segunda pregunta, no estoy seguro de lo $\dfrac{\partial}{\partial g} (f_1, \ldots, f_n)$ podría ser. Quiero decir, los coeficientes de $\dfrac{\partial}{\partial g}$ con respecto a la base $\dfrac{\partial}{\partial f_j}$, pero la interpretación de esa manera no parece producir algo útil.

Answer 3

La derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial g}$ es no invariante. Una manera de pensar acerca de las derivadas parciales (el modo relevante a cómo has enunciado de la pregunta) es que usted va a recoger un determinado coeficiente en el Jacobiano $df_p : T_p(M) \to T_p(\mathbb{R}) \cong \mathbb{R}$ presenta como una combinación lineal de alguna base para la cotangente del espacio, y esta construcción depende de la totalidad de la base (no sólo de $dg_p$). Si $M$ es de Riemann, a continuación, la cotangente del espacio puede ser equipado con un producto interior, entonces usted no necesita toda la base dual, sólo un particular, la cotangente del vector.

Una mejor noción de derivada parcial es escoger un vector tangente $v \in T_p(M)$ y considerar la posibilidad de $df_p(v)$. Este es invariante en el sentido de que se trata de la evaluación del mapa de $T_p(M) \times T_p(M)^{\ast} \to \mathbb{R}$.