Extensiones de campo de la titulación $2$

Question

Sé que si $K$ es una extensión de $\mathbb{Q}$ de grado $2$ entonces $K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$ para algún entero libre de cuadrados $d$ . Entiendo que no es el caso de la titulación $2$ extensiones de $\mathbb{R}$ .

¿Qué podemos decir de la titulación? $2$ extensiones de campos de característica $p\in$ ¿Primero?

Answer 1

Dado un campo $k$ no de característica $2$ y dado $[K:k]=2$ , dejemos que $K=k(\beta)$ con $\beta$ un cero de $x^2+ax+b$ . Sustitución de $x$ por $x-{a\over 2}$ lo convierte a la forma $x^2-b'$ . Así, la extensión se obtiene uniendo $\sqrt{b'}$ .

En característica $2$ las extensiones obtenidas por adición de raíces cuadradas son inseparables pero siguen ahí.

En característica $2$ El separable las extensiones cuadráticas se obtienen uniendo los ceros de los polinomios de Artin-Schreier $x^2-x+a$ .

Del mismo modo, en la característica $p$ , separable licenciatura- $p$ se obtienen adhiriendo ceros de Artin-Schreier $x^p-x+a$ .