Calcular $\lim_{n\to \infty} \left({1 \over n^2} + {2 \over n^2} + \cdots + {n - 1 \over n^2}\right)$

Question

$$\lim_{n\to \infty} \left({1 \over n^2} + {2 \over n^2} + \cdots + {n - 1 \over n^2}\right)$$

Traté de resolver esto mediante la búsqueda de $d$$a_2 - a_1 = d$, pero no sé cómo seguir con ella porque va a inifnity y $S_n$ i beilieve sólo funciona para un conjunto infinito.

También probé con un sándwich, me refiero a $b_c \le a_n \le c_n$, pero cuando me registré $b_n$ $c_n$ límites no eran iguales el uno al otro por lo que no podía encontrar $a_n$ límite.

Gustaría obtener un poco de ayuda, y lo siento por mi inglés, yo estudio esta en otro idioma.

Answer 1

SUGERENCIA:

$$\sum_{k=1}^{n-1}k=\frac{n(n-1)}{2}$$

Answer 2

Alternativamente, usted puede utilizar una suma de Riemann: $$ \dfrac{1}{n^2}+\dfrac{2}{n^2}+\cdots+\dfrac{n-1}{n^2}=\frac1{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{k}{n} \\int_0^1\:dx=\color{red}{\frac12}. $$

Answer 3

$\lim\limits_{n\to\infty} (\frac{1}{n^2} +\frac{2}{n^2}+\frac{3}{n^2}+...+\frac{n-1}{n^2})= \lim\limits_{n\to\infty} \frac{n(n-1)}{2n^2}=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{(1-\frac{1}{n})}{2}=\frac{1}{2}$