Propiedades de una enumeración de $\mathbb{Q}$

Question

Varios seleccione opciones correctas.

Deje $(a_n)$ ser una secuencia en la que todos los números racionales son términos(y todos los términos son racionales).Entonces

a)-no se larga de $(a_n)$ converge.

b)-hay una cantidad no numerable convergente subsecuencias de $(a_n)$.

c)-cada punto límite de $(a_n)$ es un número racional.

d)-no hay límite de punto de $(a_n)$ es un número racional.

Creo que el B es correcta porque para cualquier número irracional $j$ hay una secuencia de racionales convergentes $j$.Y ya que hay una cantidad no numerable de números irracionales hay una cantidad no numerable convergente subsecuencias.

c) es incorrecta porque no existe la secuencia de $(1+\frac{1}{n})^n$ de los números racionales(Una larga de $(a_n)$ que converge a $e$-Un número Irracional.

Alguien me puede ayudar.

Por favor, presente las razones para cada una de las 4 Opciones como para concluir -, ¿por qué son CORRECTAS o INCORRECTAS.

Es la explicación para b) correcto.

Me ayudan con un,d..

Answer 1

$\Bbb Q$ es denso en $\Bbb R$ . Esto es suficiente para resolver su problema.

(a) incorrecta . Considere la posibilidad de cualquier $b \in \Bbb R$, debido a la anterior propiedad de $\Bbb Q$, existe una secuencia de distintos números racionales decir, $\{b_n\}_{n=0}^\infty$ tal que $b_n \to b$$n \to \infty$. $\{b_n\}_{n=0}^\infty$ es una convergencia de subsequence $\{a_n\}_{n=0}^\infty$

(b)correcto. Sólo por el argumento de la anterior, ya que por cada $b \in \Bbb R$ , $\exists$ una secuencia de distintos números racionales decir, $\{b_n\}_{n=0}^\infty$ tal que $b_n \to b$$n \to \infty$.Combinando esto con el hecho de que $\Bbb R$ es incontable.

(c)incorrecta. Nuestra selección de $b \in \Bbb R$ puede ser irracional!

(d)incorrecta. Nuestra selección de $b \in \Bbb R$ puede ser racional!