¿Cómo puedo encontrar una curva a partir de sus líneas tangentes?

Question

Digamos que para alguna curva sus líneas tangentes en cada punto tienen la propiedad de que la longitud de un segmento dentro del primer cuarto $[0;+\infty)^2$ es exactamente $C>0$ .

¿Cómo puede definirse analíticamente esa curva? Tal vez incluso en términos de $y=f(x)$ .

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Ahora sobre las propias líneas tangentes. Es evidente que para todos los $k<0$ la línea tangente $y = kx - \frac{Ck}{\sqrt{k^2 + 1}}$ parece ajustarse a la descripción precisamente porque la longitud de su segmento dentro del primer trimestre es igual a $C$ . Pero, ¿qué hacer después?

Answer 1

Probablemente no sea el argumento más preciso, pero he aquí una manera de hacerlo: tomemos las líneas tangentes para que tengan la forma

$$y = kx - \frac{Ck}{\sqrt{k^2 + 1}}$$

para $k < 0$ como he mencionado en un comentario. Dos de estas líneas tangentes con pendientes $k$ y $k'$ se cruzan en el punto con $x$ -coordenadas dadas por

$$kx_\text{int} - \frac{Ck}{\sqrt{k^2 + 1}} = k'x_\text{int} - \frac{Ck'}{\sqrt{k'^2 + 1}}$$

o

$$x_\text{int} = \frac{C}{(k' - k)}\biggl(\frac{k'}{\sqrt{k'^2 + 1}} - \frac{k}{\sqrt{k^2 + 1}}\biggr)$$

Si la diferencia entre estas pendientes es muy pequeña, $k' = k + \epsilon$ esta expresión se simplifica a

$$x_\text{int} = \frac{C}{(k^2 + 1)^{3/2}} + O(\epsilon)$$

que nos dice el $x$ -coordenada del punto de intersección de dos líneas de pendiente similar.

Es lógico que si la curva que buscamos, $y = f(x)$ no es demasiado "loco", los puntos en los que es tangente a dos rectas convergen a la intersección de esas dos rectas a medida que la diferencia entre las pendientes de las rectas llega a cero. Por lo tanto, en el $\epsilon\to 0$ límite, obtenemos una expresión para la pendiente en el punto de convergencia:

$$f'\Biggl(\frac{C}{(k^2 + 1)^{3/2}}\Biggr) = k$$

o de forma equivalente,

$$f'(x_\text{int}) = -\sqrt{\biggl(\frac{C}{x_\text{int}}\biggr)^{2/3}-1}$$

Como achille hui como se ha señalado en los comentarios, la solución relevante de esta ecuación diferencial es la función

$$f(x) = C\Biggl[1 - \biggl(\frac{x}{C}\biggr)^{2/3}\Biggr]^{3/2}$$

que se llama astroide .