¿Qúe se pueden decir sobre Jones?

Question

¿Qué puede decirse de una serie infinita $\sum^{\infty}_{n=1} a_n$ $a_n \neq 0$ % todo $n$, cuya suma es cero? ¿Existe tal serie? En caso afirmativo, ¿puede dar un ejemplo?

Answer 1

Tomar cualquier secuencia positiva ${a_n}$ que converge a cero, por ejemplo, $a_n = 1/n$. Definir una serie $\sum si$ cuyos términos incluso son $s{2i} = -ai$ y cuyos términos impares están $s{2i-1} = a_i$.

La serie alterna y converge (siempre, pero más fácilmente por la serie alterna de prueba si monótonamente decreciente). Es fácil ver que el límite es cero, puesto que las sumas parciales incluso son idénticamente cero.

Answer 2

¿Qué tal

Answer 3

Realmente no puede decir mucho sobre esta serie en todo. Claramente tiene que haber condiciones positivas y negativas si la serie de sumas a cero y tiene cero condiciones. Sin embargo es posible que esa serie donde cualquier cambio de los términos da cualquier suma que usted quiera, incluso divergentes, tan literalmente la serie puede cualquier cosa siempre y cuando los términos positivos finalmente se cancelan los términos negativos, no importa lo que los cambios de la serie pueden dar...

Answer 4

$1-1+\frac 12-\frac 12+\frac 14 -\frac 14+\frac 18-\frac 18\dots $ podría ser un ejemplo como sería de $1-\frac 12-\frac 12+\frac 12-\frac 14-\frac 14+\frac 13-\frac 16-\frac 16+\frac 14-\frac 18-\frac 18 \dots$

Estoy seguro de que usted puede hacer hasta otros ejemplos ...

Answer 5

¿

$$\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{-1^n}{n^2} + \frac{\pi^2}{12\cdot 2^n} \right)$$