Autoadhesión esencial del operador de Laplace mediante la transformada de Fourier

Question

Estoy trabajando en algunos apuntes sobre la demostración de la autounión esencial del operador de Laplace en $\Bbb R$ mediante la transformada de Fourier ( ver aquí ) pero parece que se ha tomado una pequeña libertad en un punto que no puedo justificar. Se muestra que $-\Delta$ es simétrica en $C_c^{\infty}(\Bbb R)$ y también es positivo. Esto es bastante sencillo, como suele ocurrir con los operadores diferenciales. La parte que me molesta es mostrar que, de hecho, es esencialmente autoadjunto.

La forma más fácil (creo) de hacerlo es a través de la transformada de Fourier, ya que ésta convierte el operador de Laplace en un operador de multiplicación. El autor quiere demostrar que $\operatorname{Im}(-\Delta\pm i)$ es denso en $L^2(\Bbb R)$ o, por el contrario $\operatorname{Im}(-\Delta \pm i)^{\perp} = \{0\}$ que es, por supuesto, una de las condiciones equivalentes para que un operador simétrico sea esencialmente autoadjunto. Reproduciré el argumento aquí y explicaré dónde creo que falta algo de rigor.

Supongamos que $g\in L^2(\Bbb R)$ es tal que

$$0 = \langle (-\Delta \pm i)f,g\rangle \tag{1}$$

para todos $f\in C_c^{\infty}(\Bbb R)$ . Como la transformada de Fourier es unitaria, tenemos

$$0 = \langle \mathcal{F}(-\Delta\pm i)f,\mathcal{F}g\rangle.$$

Para $f\in C_c^{\infty}(\Bbb R)$ , $-\mathcal{F}\Delta f(x) = 4\pi^2|x|^2\mathcal{F}f(x)$ por lo que esto se convierte en

$$ 0 = \langle (4\pi^2 |x|^2\pm i)\mathcal{F}f,\mathcal{F}g\rangle.$$

Queremos demostrar que $g$ es cero, por lo que es lógico que empujemos $4\pi^2|x|^2\pm i$ en $\mathcal{F}g$ para luego obtener ese

$$ 0 = \langle \mathcal{F}f, (4\pi^2|x|^2\mp i)\mathcal{F}g\rangle.$$

Como la transformada de Fourier es unitaria, $\mathcal{F}(C_c^{\infty}(\Bbb R))$ es denso en $L^2(\Bbb R)$ así que esto diría que $(4\pi^2|x|^2\mp i)\mathcal{F}g = 0$ dando que $\mathcal{F}g=0$ y así $g=0$ ya que la transformada de Fourier es unitaria.

Aquí radica mi problema. No hay ninguna garantía a priori que $(4\pi^2|x|^2\mp i)\mathcal{F}g$ está en $L^2(\Bbb R)$ por lo que no podemos aplicar este razonamiento. La forma obvia de evitarlo es exigir que $g$ sea tal que $g\in L^2(\Bbb R)$ y $(4\pi^2|x|^2\mp i)\mathcal{F}g\in L^2(\Bbb R)$ . El conjunto de $g$ satisfaciendo esto es denso ya que contiene $C_c^{\infty}(\Bbb R)$ de Paley-Wiener (o, mejor aún, contiene el espacio de Schwartz). Para tales $g$ el argumento anterior demostraría que $g$ debe ser efectivamente la función cero. Sin embargo, no tengo claro que esto sea suficiente para decir que cualquier $g$ Satisfaciendo a $(1)$ debe ser cero. ¿Hay algo que se me escapa? ¿Se pueden utilizar argumentos de densidad de alguna manera o se trata de un argumento fundamentalmente erróneo?

Answer 1

Esto empezó como un comentario pero pronto se hizo demasiado grande, así que lo convierto en una respuesta.

La transformada de Fourier deja claro que $-\Delta$ es autoadjunto en su dominio natural en el espacio libre $H^2(\mathbb{R}^n)$ porque la diagonaliza unitariamente. Es decir, la transformada de Fourier es unitaria y entrelaza $\mathcal{F}\circ(-\Delta) = a(\xi)\circ\mathcal{F}$ , donde $a$ es una función de valor real que actúa como una multiplicación. (Precisamente $a(\xi)=\lvert \xi\rvert^2$ pero aquí sólo importa el hecho de que se valore realmente).

Por lo tanto, $-\Delta$ es autoadjunto en su dominio natural si $a$ es. El dominio natural de este último operador es

$$ \text{Dom}(a)=\left\{ \phi\in L^2(\mathbb{R}^n)\ :\ a(\xi)\phi(\xi)\in L^2(\mathbb{R}^n)\right\}. $$ Está claro que la realidad de $a(\xi)$ que $\text{Dom}(a)\subset \text{Dom}(a^\star)$ Es decir, que $a$ es simétrica. La otra inclusión es el teorema de representación de Riesz: si $\psi \in \text{Dom}(a^\star)$ entonces, por definición $$ \frac{\left\lvert \int \phi(\xi)\overline{a(\xi)\psi(\xi)}\, d\xi\right\rvert}{\lVert \phi\rVert_2}\le C $$ para todos $\phi\in \text{Dom}(a)$ que seguramente es un subconjunto denso de $L^2$ espacio. Por el teorema de representación de Riesz, el sumo de este cociente es exactamente $\lVert a\psi\rVert_2$ por lo que esta norma es finita y $\psi\in \text{Dom}(a)$ .

Probablemente ya lo sabías, pero de todos modos lo publico aquí con la esperanza de que te sirva de ayuda.

Answer 2

En realidad, no es demasiado difícil reparar el argumento: Ya sabes $0=\left\langle (4\pi^2 |x|^2\pm i)\hat{f},\hat{g}\right\rangle$ Ahora el conjunto $\{ (4\pi^2 |x|^2\pm i)\hat{f} \ | \ f\in C^\infty_0\}$ es denso en $L^2$ De ahí que $\hat{g}=0$ y $g=0$ . ¿Por qué es denso este conjunto? Adapta la prueba (último párrafo) de la Proposición 1.1.15 (página 5) aquí .

[No es demasiado difícil encontrar otras referencias que realicen una demostración correcta utilizando la transformada de Fourier, por ejemplo http://people.math.gatech.edu/~loss/14SPRINGTEA/laplaciano.pdf o "Teoría espectral y operadores diferenciales" de Davies (Teorema 3.5.3). En el libro de Davies el resultado se generaliza a una cierta clase de operadores diferenciales de coeficiente constante (dependiendo del símbolo, como se ha mencionado en los comentarios de G.N.).