Prueba $\cos 3x =4\cos^3x-3\cos x$

Question

Cómo podría resolver la siguiente identidad de ángulo doble.

$$\cos 3x =4\cos^3x-3\cos x$$

Lo sé. $\,\cos 3x = \cos(2x+x)$

Así que sé que tengo $\,\cos 2x +\cos x \,$ , que es $\,(2\cos^2x-1)\cos x$

Pero no estoy seguro de qué hacer a continuación.

Answer 1

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x\Rightarrow e^{3ix}=(\cos x+i\sin x)^3\Rightarrow\cos 3x+i\sin 3x=(\cos x+i\sin x)^3$$

Ahora expande el cubo e iguala las partes real e imaginaria de ambos lados para obtener la respuesta.

Answer 2

\begin {eqnarray} \cos (3x) &=& \cos (2x+x) \\ &=& \cos (2x) \cos x - \sin (2x) \sin x \\ &=& ( \cos ^2 x - \sin ^2 x) \cos x - 2 \sin ^2 x \cos x \\ &=& \cos ^3 x -(1- \cos ^2 x) \cos x - 2 (1 - \cos ^2 x) \cos x \\ &=& 2 \cos ^3 x - \cos x + \cos ^3 x -2 \cos x \\ &=& 4 \cos ^3 x - 3 \cos x \end {eqnarray}

Answer 3

También podría: de hecho hay una recurrencia útil (Chebyshev) que se puede utilizar para expresar $\cos\,nx$ totalmente en términos de poderes de $\cos\,x$ :

$$\cos((n+1)x)=2\cos(x)\cos(nx)-\cos((n-1)x)$$

En este caso, puede comenzar con $\cos\,x$ y $\cos\,2x=2\cos^2 x-1$ :

$$\begin{align*} \cos\,3x&=(2\cos\,x)(2\cos^2 x-1)-\cos\,x\\ &=4\cos^3 x-2\cos\,x-\cos\,x=4\cos^3 x-3\cos\,x \end{align*}$$

Answer 4

Ahora intentaré responder a mi propia pregunta.

$$\begin{eqnarray} \cos(2x)(\cos x)-\sin(2x)(\sin x)& =& (2\cos^2 x-1)(\cos x)-2\sin x\cdot\cos x\cdot\sin x\\ &=&2\cos^3x-\cos x-2\sin^2 x\cos x\\ &=&2\cos^3x-\cos x-2(1-\cos^2 x)(\cos x)\\ &=&2\cos^3x-\cos x-2\cos x+2\cos^3 x\\ &=&4\cos^3 x-3\cos x \end{eqnarray}$$

Answer 5

En general, un producto de funciones sin y cos puede resolverse fácilmente mediante la expansión en serie de Fourier y la convolución.