¿Cuál es la Tasa de cambio de f (x^2) dada la tasa de cambio de f (x)

Question

Encontrar el promedio de la tasa de cambio de $f(x^2)$ en el intervalo [1,4] dado que el promedio de la tasa de cambio de $f (x)$ es igual a 9 en el intervalo [1,16]?

Esta pregunta tiene dos diferentes "respuestas" de acuerdo a dos profesores diferentes

La primera de dar respuesta, de 9 asumiendo $y=x^2$ y aplicando la fórmula de la tasa de cambio de la siguiente Deje$ y=x^2 $ $I$ = [1,4], a continuación,$ f (1)$=1,$f (4)$=16

$\frac{f(4^2) - f(1^2)}{(4^2 -1^2)}$ = $\frac{f (y_{2})-f (y_{1})}{y_{2}-y_{1}}$ = $\frac{f(16) - f(1)}{(16-1)}$ =9

El segundo dar la respuesta de 45 como siguiente

$\frac{f(b) - f(a)}{(b - a)}$ $\frac{f(16) - f(1)}{16 - 1}=9$a

$\frac{f(16) - f(1)}{15}=9$

$f(16) - f(1)=9*15$
Ahora nos encontramos con la tasa de cambio de $f (x^2)$ siguiente $\frac{f(16) - f(1)}{4 - 1}=\frac{9*15}{3}=45$ ¿qué es la respuesta correcta?
Podemos asegurar que la respuestas geométricamente? Gracias por ayudar

Answer 1

Deje $g(x) = f(x^2)$.

El promedio de la tasa de cambio de una función de $f$ en un intervalo de $[a,b]$$\dfrac{f(b) - f(a)}{b-a}$.

La tasa promedio de cambio de $f$ en el intervalo de $[1,16]$ $$\frac{f(16) - f(1)}{16 - 1} = \frac{f(16) - f(1)}{15}.$$

Usted dice esta tasa de cambio es igual a $9$.

La tasa promedio de cambio de $g$ en el intervalo de $[1,4]$ es por lo tanto igual a $$ \frac{g(4) - g(1)}{4-1} = \frac{f(16) - f(1)}{3} = 5 \cdot \frac{f(16) - f(1)}{15} = 45.$$