Un elemento maximal de el conjunto de no-principales ideas es el primer

Question

Deje $R$ ser un anillo que no es un PID. El conjunto $S$ de todos los ideales de a $R$ que no están director / a tiene un elemento maximal con respecto a la inclusión (Lema de Zorn), ya he probado! Ahora, necesito mostrar que si $P$ es un elemento maximal de a$S$, $P$ es primo.

He intentado por contradicción: supongamos $a,b \not\in P$, pero $ab \in P$. Por lo $P+(a)$ $P+(b)$ no $S$, y por lo tanto ellos son los principales ideales, decir $P+(a) = (x)$$P+(b) = (y)$. Ahora, sólo tengo que demostrar que $P$ es la directora. Cualquier sugerencia será útil.

Por lo tanto, voy a la conclusión de que para cualquier anillo, si todos los primos son los ideales principales, entonces cualquier ideal es principal.

Answer 1

Ver este enlace (incluye pruebas). Dos pasos:

1. La familia de los principales ideales de un anillo es una Oka familia.

2. Si $\cal F$ es una Oka familia de ideales, entonces cualquier elemento maximal del complemento de $\cal F$ es primo.

En el anillo de $R$, un conjunto de ideales $\cal F$ es una Oka familia si $R\in \cal F$ y siempre que $I$ es un ideal tal que $(I:a)\in \cal F$ $(I,a)\in \cal F$ algunos $a\in R$,$I \in \cal F$.

Pedro Tamaroff-sugirió otro buen enlace está aquí. También las señaladas por Bill Dubuque en un MSE de respuesta (para otro estándar Oka familia, los ideales, que no se cortan un determinado subconjunto multiplicativo en el anillo) aquí.