Si tiene en cuenta la firma correcta de su norma, entonces sí, está en lo cierto, que la "distancia" entre eventos en el espaciotiempo (llamado tiempo propio, si $t^2>x^2+y^2+z^2$ y la distancia propia en caso contrario) se conserva por los cambios uniformes inducidos por el movimiento relativo y también que nuestros vectores de velocidad, medidos por un observador inercial siempre tienen una longitud $c$ incluso cuando estamos inmóviles con respecto a ese observador. Pero tu diagrama no muestra del todo esto.
Su trama describe una situación en la que la dimensión temporal es exactamente igual a las dimensiones espaciales:
- La longitud de un cuatro vector es su norma euclidiana ganada (es decir, hallada por el Teorema de Pitágoras ampliado a cuatro dimensiones);
- La longitud se conserva por la transformación de coordenadas inducida por el movimiento relativo uniforme.
Es decir, según el razonamiento que implica su diagrama, si el "desplazamiento a través del espaciotiempo" entre dos eventos es $(t, x,\,y,\,z)$ entonces su diagrama describe la situación en la que la distancia pitagórica al cuadrado entre los eventos $t^2+x^2+y^2+z^2$ será la misma para cualquier observador.
Estoy utilizando aquí unidades de tiempo de "metros", por lo que en estas unidades, un segundo se escala a aproximadamente $3\times 10^8$ metros (la distancia que recorre la luz en este tiempo).
Sin embargo, la abrumadora evidencia experimental es que esta NO es nuestra realidad. El enunciado de nuestra realidad es casi el mismo que el anterior, pero hay una diferencia crucial: El teorema de Pitágoras se sustituye por un firmad para que el elemento $t^2-(x^2+y^2+z^2)$ es la que se conserva.
Este aparentemente pequeño asunto de un signo tiene ENORMES implicaciones físicas. Por un lado, supongamos que las transformaciones inducidas por la velocidad relativa conservan la norma euclidiana. ¿Sabes qué transformaciones lineales homogéneas conservan igual la "distancia" relativa (norma) entre todos los puntos? De hecho, es una rotación . Así, si nuestra transformación inducida por la velocidad relativa fuera una rotación, podría girar el vector unitario $(1,0,0,0)$ como cualquier otro vector unitario espacial. En otras palabras: podría invertir el orden temporal de dos eventos cualesquiera girando el desplazamiento del espacio-tiempo entre ellos a través de media vuelta. Los vínculos causales en un universo así serían muy extraños, ya que algunos observadores que se mueven uniformemente podrían ver los efectos antes que las causas.
Cuando ponemos los signos correctos, descubrimos que la causalidad es mucho menos espinosa y mucho más parecida a nuestra noción cotidiana de sentido común: mientras $t^2-x^2-y^2-z^2>0$ entonces la coordenada temporal no puede estar en el intervalo $(-\sqrt{x^2+y^2+z^2},\,\sqrt{x^2+y^2+z^2})$ . En otras palabras, el intervalo de tiempo entre estos eventos no puede cambiar continuamente de signo ya que las coordenadas de los eventos sufren una secuencia continua de transformaciones inducidas por la velocidad relativa . De este modo, se conservan las relaciones causales entre eventos que están separados por un desplazamiento en el que $t^2-x^2-y^2-z^2>0$ .
Se trata, pues, de una observación cotidiana que respalda la norma de la firmad: existe una relación causal simple entre pares de sucesos y eso se mantiene mientras las cosas no se muevan unas respecto a otras más rápido que la velocidad de la luz.
Un segundo resultado experimental es el de la dilatación del tiempo (que es un poco más complicado de derivar), pero se confirma abrumadoramente por el alargamiento de la vida de las partículas inestables de acuerdo con la fórmula de la dilatación del tiempo cuando son conducidas a una fracción considerable de la velocidad de la luz en un acelerador de partículas.
El autor de ciencia ficción explora otros aspectos físicos y relaciones que surgirían con una norma espacial euclidiana Greg Egan en su trilogía Ortogonal. Un fantástico y correcto resumen de algunos de estos extraños cambios se dan en:
Greg Egan, "Más, menos: Una suave introducción a la ortogonalidad"
No sé mucho sobre Greg Egan, pero ciertamente muestra un considerable aprendizaje/formación en física y/o matemáticas en las páginas web que dan el trasfondo físico a sus maravillosas historias.
