Gavilla hom y la contigüidad de empujar hacia adelante e inversa de la imagen

Question

Estoy tratando de demostrar que el producto tensor de poleas desplazamientos con la inversa de la imagen. Yo he reducido el problema a la siguiente isomorfismo

$$f_*\mathscr{H}om_X(f^*\mathcal{N},\mathcal{P}) \cong \mathscr{H}om_Y(\mathcal{N},f_*\mathcal{P})$$

donde $ f:X\rightarrow Y$ es una de morfismos de anillos espacios, $\mathcal{N}$ $\mathcal{O}_Y$ módulo, y $\mathcal{P} $ $ \mathcal{O}_X$ módulo.

Estoy tratando de demostrar esto a través de la contigüidad de las $f^* $$f_ *$, pero soy incapaz. Alguien puede guiarme a través de los pasos involucrados en la construcción de este isomorfismo?

Answer 1

$\def\HH{{\mathcal Hom}}\def\Hom{{\operatorname{Hom}}}\def\N{{\mathcal N}}\def\P{{\mathcal P}}$Esto viene a partir de la comprobación de la natural isomorfismo de contigüidad en cada conjunto abierto y el uso de connaturalidad a ver que se induce un morfismos de las poleas no solo establece.

Explícitamente, tomar un conjunto abierto $U \subset Y$. Entonces

$$ f_*\HH_X(f^*\N,\P)(U) = \Hom\left(f^*\N|_{f^{-1}(U)},\P|_{f^{-1}(U)}\right) \enspace \enspace \enspace (*) $$

pero $f^*\N|_{f^{-1}(U)} = \left(f|_{f^{-1}(U)}\right)^*\N|_U$. A continuación, por la contigüidad, (*) es naturalmente isomorfo a

$$ \Hom\left(\N|_U, f_*\P|_U\right) = \HH_Y(\N,f_*\P)(U). $$

Connaturalidad de este isomorfismo nos dice que este mapa de desplazamientos con las restricciones y por lo que es un mapa de poleas y así obtenemos un isomorfismo.