He estado mirando un poco en la geometría diferencial y han quedado atascado en una pregunta: Dada una función de $f$, hay una manera de encontrar explícito en el espacio de la curva, que se ha $f$ como ambos es la curvatura y la torsión? He sido capaz de encontrar una fórmula para un plano de la curva con curvatura $k(s)$, pero que se extiende a lo que parece ser el próximo caso más simple (la curvatura = torsión) ha sido difícil. Consejos sobre cómo proceder?
Respuestas
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Si $\kappa = \tau$, vamos a $U = T + B$$W = T - B$. Derivados en las siguientes con respecto a arclength $s$. Desde el Frenet-Serret fórmulas, $U'= 0$ $U$ es constante. WLOG nos puede llevar a ser $[0,0,\sqrt{2}]$. Ahora tenemos $W$ $N$ ortogonal a $U$ con $U \times W = 2 N$, lo $W = [\sqrt{2} \cos(w), \sqrt{2} \sin(w), 0]$ y $N = [-\sin(w),\cos(w),0]$. A continuación, $W' = 2 \kappa N$ dice $w' = \kappa$. Así que la primera cosa que usted necesita es una antiderivada de $w$$\kappa$. A continuación,$T = (U+W)/2 = [\sqrt{2} \cos(w)/2, \sqrt{2} \sin(w)/2, \sqrt{2}/2]$, y la integración de este (que requiere antiderivatives de $\cos(w)$$\sin(w)$) le dará su curva.
clintp
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El uso de la curvatura y la torsión, se puede determinar el movimiento triedro del espacio de la curva mediante la resolución de una cierta ecuación diferencial. Si usted desea, usted puede usar esto para obtener una parametrización de la curva. Toda la información necesaria se puede encontrar aquí, aunque se hace referencia al movimiento de las triedro como el Frenet-Serret marco.
