¿Seguimiento a la última pregunta: cuando es $f$ una incrustación primaria en $L$?

Question

Después de mi pregunta anterior, yo también he estado pensando acerca de por qué la existencia de $0^{\#}$ no implica que el $L$ satisface la existencia de un Reinhardt cardenal.

$0^{\#}$ implica la existencia de un trivial primaria de la incrustación de $j:L\rightarrow L$. El uso de algunas propiedades de Gödel de las operaciones, se puede mostrar que cualquier $j$ está incluido en $L$. Utilizando el hecho de que $L\models\varphi[x]$ fib $L\models(L\models\varphi[x])$, uno puede mostrar que cualquier $j$ es un elemental de la incrustación en el $L$. Finalmente, con el hecho de que $L$ es un interior modelo, uno puede mostrar que $j$ es trivial en $L$. ¿Por qué no a la baja absoluta a $L$?

Cuando es una función de $f$ primaria incrustación en $L$?

Dado transitivo interior modelo $M$$ZF$, ¿cuáles son los requisitos que $M$ satisface la existencia de un Reinhardt cardenal?

A diferencia de la pregunta anterior, la pieza de información que me estoy perdiendo aquí no es que el dominio de la incrustación en cuestión no es un modelo de ZFC (en esta pregunta es $L$). Por lo cual la información que me estoy perdiendo?

Answer 1

Una clave ingrediente que falta es de conveniencia. Supongamos $M,N$ son transitivos modelos suficiente de la teoría de conjuntos y $j\!:M\to N$ es elemental. Decimos que $j$ es susceptible de $M$ si y sólo si $j\upharpoonright M\cap V_\alpha\in M$ todos los $\alpha.$

Por ejemplo, alguna de primaria de la incrustación de $j\!:V\to M$ es susceptible.

Lo Kunen del teorema establece en los términos de esta noción es que, probablemente se encuentre en $\mathsf{ZFC}$ si $M$ es un modelo transitivo de la teoría de conjuntos, y $j\!:M\to M$ es elemental, a continuación, $j$ no es susceptible a la $M$.

Ahora, si $j\!:L\to L$ es elemental, lo que llegamos a la conclusión de que no es el de la teoría de conjuntos es incompatible (no conseguimos que hay Reinhardt cardenales en $L$), sino que $j$ no es susceptible a la $L$.

Es un ejercicio útil para hacer esto explícito (sin apelar a Kunen del resultado). Por ejemplo, si $\alpha>\operatorname{cp}(j)$ es un cardenal, a continuación,$j\upharpoonright L_\alpha\notin L$. Una forma de ver esta es la nota que de lo contrario el $L$-ultrafilter en $\kappa=\operatorname{cp}(j)$ derivado de $j$ (es decir, $\{X\in \mathcal P(\kappa):\kappa\in j(X)\}$) sería un elemento de $L$, ya que es definible a partir de $j\upharpoonright L_\alpha$. Esto implicaría, por ejemplo, que el $0^\sharp\in L$.

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Hace un par de años, me dio una serie de charlas en el 15º Simposio latinoamericano en la Lógica Matemática, en Bogotá, en la determinación e interior de los modelos. Receptividad es uno de los temas que cubre, y la anterior se basa en mis notas.