Una generalización de las funciones holomorfas

Question

Fijemos una matriz $A\in M_{2}(\mathbb{R})$ . Supongamos que el siguiente espacio vectorial de funciones suaves es cerrado bajo la multiplicación compleja:

$$\mathcal{S}_{A}=\{f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}\mid Df.A=A.Df \}$$

Aquí $Df$ es el jacobiano de $f:\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}^{2}$ (Identificamos $\mathbb{C}$ con $\mathbb{R}^{2}$ ).

¿Implica esto que $A$ es de la forma $A=\begin{pmatrix} a&-b\\b&a \end{pmatrix}$ ?

Tenga en cuenta que para $A=\begin{pmatrix} 0&-1\\1&0 \end{pmatrix}$ la relación $Df.A=A.Df$ es equivalente a las ecuaciones de Cauchy Riemann para $f=u+iv$ por lo que obtenemos la clase de funciones holomorfas.

Answer 1

Tienes razón. Pero la A siempre satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Dejemos que $f = u(x,y)+v(x,y)i$ ,

Según la definición de suavidad : la f debe ser diferenciable lo que implica que f debe satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Para simplificar: denote $$\frac{\partial{f}}{\partial{x}} = f_x$$

Por Ecuaciones de Cauchy-Riemann : $$u_x = v_y \tag{1}$$ y $$u_y = - v_x \tag{2}$$

El jacobiano de f es $\begin{pmatrix} u_x&u_y\\v_x&v_y \end{pmatrix}$ Designarlo como B.

Sea A = $\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}$

Denote $U[i][j]$ es la entrada en $i^{th}$ fila $j^{th} $ columna donde U es una matriz;

Por $A\times B =B\times A $

Entonces $(A\times B)[1][1] = au_x+bv_y=(B\times A)[1][1] = au_x+cu_y $ Por $(2)$ , $ au_x+bu_y = au_x-bu_y$ para todos $f$ .

Así, $c = -b$ .

Elija $(A\times B)[1][2] = (B\times A)[1][2] $ y utilizando $(1)$ se puede obtener d = a.

Elija $(A\times B)[2][1] = (B\times A)[2][1] $ se puede demostrar que se ha agujereado.

Elija $(A\times B)[2][2] = (B\times A)[2][2] $ se puede demostrar que se ha agujereado.

Por lo tanto, A = $\begin{pmatrix} a&b\\-b&a\end{pmatrix}$

Answer 2

Poner $f(z)=z$ Entonces $f$ pertenece a $\mathcal{S}_{A}$ . Así que $f^{2}$ debe pertenecer a $\mathcal{S}_{A}$ también. Esto significa que $A$ conmuta con todas las rotaciones. Por lo tanto, $A$ tiene la representación deseada como se señala en el comentario del usuario 1952009.