La inexistencia de una fuerte multiplicativo función creciente con $f(2)=3$

Question

Muestran que no existe una función estrictamente creciente $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ satisfactorio

$$f(2)=3$$ $$f(mn)=f(m)f(n)\forall m,n\in\mathbb{N}$$

Progreso: Suponga que la función existe. Deje $f(3)=k$ Desde $2^3 < 3^2$, $$3^2=f(2)^3=f(2^3)<f(3^2)=f(3)^2=k^2$$ por lo $k>5$ y desde $3^3 < 5^2$, luego $$k^3=f(3)^3=f(3^3)<f(2^5)=f(2)^5=3^5=243<343=7^3$$ por lo $k<7$ por lo tanto $k=6$.

He metido con saber $f(3)=6$ $f(2)=3$ pero estoy atascado.

Answer 1

Sugerencia: suponga que no. Usted sabe lo $f(2^k)$ debe ser. Te voy a mostrar que $f(3)$ no puede ser cualquier número natural. Tiene límites desde $f(2) < f(3) < f(4)$. Parte de la consideración de $f(3^j) = f(3)^j$ para algunos valores pequeños de a $j$ y comparar a $f(2^k)$ para algunos valores pequeños de a $k$ a eliminar todas las posibilidades para $f(3)$.