¿Cuál es una aplicación del mundo real de la factorización de polinomios?

Question

La esposa y yo estamos sentados aquí un sábado por la noche haciendo algunos deberes de álgebra. Estamos factorizando polinomios y los dos hemos tenido el mismo pensamiento al mismo tiempo: ¿cuándo vamos a usar esto?

Me siento un poco tonta porque siempre me molestaba que me preguntaran eso en la escuela primaria. Sin embargo, ambos somos profesionales en activo (yo soy programador, ella es fotógrafa) y no recuerdo haber considerado nunca la factorización de polinomios como una solución al problema que estaba resolviendo.

¿Existen aplicaciones del mundo real en las que la factorización de polinomios pueda conducir a una solución? o se trata de una matemática "escalonada" que abrirá mi mente a soluciones más elaboradas que realmente se ¿usar?

Gracias por tomarse el tiempo.

Answer 1

Si se modela algún fenómeno con un polinomio, a menudo es interesante determinar cuándo el polinomio se evalúa a cero. Una de las herramientas utilizadas para decidir cuándo ocurre esto es la factorización.

Por ejemplo, la trayectoria simple puede modelarse con una función cuadrática. Si se piensa en el tiempo como entrada y en la altura como salida, entonces el tiempo positivo para el que el polinomio se evalúa a cero es precisamente el momento en que el objeto toca el suelo.

Answer 2

En el caso de los polinomios con coeficientes enteros, la pregunta es más o menos la misma que "cuáles son las aplicaciones prácticas de la teoría algebraica de los números". Las respuestas habituales son la teoría de la codificación y la criptografía, en las que la factorización (y las operaciones relacionadas, como comprobar si un polinomio puede ser factorizado) forma parte de la infraestructura básica a partir de la cual se construyen o rompen los sistemas. La codificación es necesaria para la comunicación digital (incluido el teléfono, el vídeo y los satélites) y la criptografía se ha convertido en una característica básica del uso cotidiano de los ordenadores y el comercio.

Para los polinomios con coeficientes reales existe la expansión parcial de fracciones que se utiliza en el cálculo para calcular integrales.

Para los polinomios con números complejos como coeficientes, la factorización es en factores lineales, de modo que la factorización es prácticamente lo mismo que la búsqueda de raíces numéricas (y esto es en parte cierto también para los números reales). Son comunes los problemas de ingeniería en los que la localización de las raíces complejas de un polinomio determina el comportamiento del sistema. Por ejemplo, la estabilidad o la inestabilidad pueden decidirse en función de si todas las raíces están dentro del círculo unitario, o tienen parte real positiva, u otros criterios de localización. Las oscilaciones pueden ser periódicas si las raíces están $n$ 'th raíces de $1$ para algunos $n$ o comportamiento cuasiperiódico si las raíces están en el círculo unitario pero no todas en las raíces de $1$ . Un sistema gobernado por una ecuación diferencial parcial mostraría un comportamiento difusivo (como el calor) o ondulatorio basado en la factorización de un "operador diferencial" asociado, que es esencialmente un polinomio.

En general, muchos fenómenos son descomponibles en componentes, piezas o subsistemas de forma que (cuando los sistemas se modelan matemáticamente) aparecen como una descomposición multiplicativa de polinomios, con un factor por subsistema.

Answer 3

(Este es un comentario muy largo, no una respuesta real)

Cuando la gente (incluidos mis alumnos) me hace preguntas de este tipo, mis fusibles internos saltan, y suelo responder con un tono muy cínico algo parecido a lo siguiente:

Esto es inútil. Todo lo que estudias aquí no te sirve para nada más adelante en la vida, si prefieres no estudiar esto puedes ir a una universidad, o cambiar de profesión. Esta universidad quiere que te enriquezcas con un conocimiento más amplio, o lo tomas o lo dejas.

Por supuesto, estoy mintiendo. Todo lo que se estudia puede llegar a utilizarse alguna vez, a menudo en lugares inesperados. Es posible que un día la teoría de los números te salvará la vida . Mientras tanto, puedes considerar el estudio como una forma de aprender a hacer las cosas de forma abstracta.

¿Por qué es importante? Los problemas suelen ser similares, aunque hay que subir un nivel de abstracción o más para verlo.

Por ejemplo, si te pido que saques 3 naranjas de un montón de 10. ¿Sería diferente si fueran manzanas, piedras, ovejas o balas? No. Probablemente sería lo mismo. Este nivel de abstracción es muy simple. Es cierto.

Por otro lado, pedirte que encuentres la mejor ruta para ir de una clase a otra teniendo en cuenta el clima, la posible cantidad de gente caminando también entre las clases, etc.

Este problema puede parecer muy diferente a pedirte que compres comida para una semana con un presupuesto óptimo (no quieres gastar todo su dinero en comestibles, ¿verdad?), teniendo en cuenta el tiempo y cómo es probable que gaste la semana siguiente.

En realidad son problemas diferentes, y es probable que uno emplee diferentes partes del cerebro para resolver un problema de razonamiento espacial y un problema aritmético sobre el dinero.

Desde el punto de vista matemático, se podrían representar ambos como un complicado gráfico ponderado; la probabilidad y la estadística; la lógica difusa; el cálculo multivariable; y quizás otros campos de las matemáticas.

Se trata de una forma de abstracción que la gente no suele ser capaz de hacer "a secas". Además, aunque se encuentre una solución general, aplicarla a cada problema no es, de nuevo, una cuestión trivial y suele ser tan complicada como la parte de la abstracción.

Finalmente, llegamos al punto de mis balbuceos anteriores. Las matemáticas son una herramienta maravillosa y abstracta. Si la estudias, es probable que mejore tu capacidad para establecer conexiones entre problemas aparentemente no relacionados, que mejore tu capacidad para resolver los problemas abstractos y, como resultado, que mejore tu capacidad para resolver el problema en cuestión.

Si eres programador, tienes que ser capaz de enfrentarte a muchos problemas, que pueden presentarse de muchas formas y de muchas maneras. Tienes que ser capaz de ver la similitud abstracta, y como buen programador ser capaz de escribir herramientas abstractas para manejar los problemas generales. No reescribir código ad-hoc para resolver cada problema por su cuenta.

Answer 4

Ninguna de las respuestas hasta ahora justifica hacer que los alumnos de 10º grado factoricen polinomios sin sentido. Y para la mayoría de los estudiantes, es efectivamente una pérdida de tiempo. Por desgracia, si se eliminara del plan de estudios de matemáticas de la escuela secundaria, sería imposible seguir adelante. Ahora les diré por qué.

A veces en la vida hay que resolver una ecuación cuadrática. No sólo en la escuela, sino en la vida. Es la ecuación básica que entra en juego cuando hay que optimizar factores que compiten entre sí. No siempre se escribe una ecuación para estas cosas, pero es lo que ocurre. El ejemplo clásico es el huerto de manzanas, donde se obtienen menos manzanas por árbol cuanto más se aglomera el huerto. La solución óptima viene dada por la resolución de una ecuación cuadrática.

En los huertos reales con manzanos reales, es cierto que la ecuación real puede no ser la ecuación cuadrática simplificada del emblemático problema matemático del instituto. Pero el principio de optimización es el mismo, y es la ecuación cuadrática la que más claramente y de forma más sencilla ilustra este principio.

Quizá la lección más importante de las matemáticas de la escuela secundaria sea que el mundo físico puede modelarse matemáticamente y que las ecuaciones matemáticas tienen solución. Es posible escribir simplemente una fórmula que resuelva cualquier ecuación cuadrática, pero esto sería un error. Se pierde la idea básica de lo que significa resolver una ecuación matemáticamente. No se puede empezar a explicar la solución general de una ecuación cuadrática si no se empieza por el método de la factorización. Por muy inútil que parezca cuando lo estás haciendo, es a lo que conduce y por eso no puedes enseñar matemáticas sin él.

Answer 5

Se necesita la factorización de polinomios (o lo que es lo mismo, la búsqueda de raíces) para las matemáticas superiores. Por ejemplo, cuando se busca la valores propios de una matriz, aparecen como las raíces de un polinomio, el " ecuación característica ".

Sospecho que nada de esto le servirá a alguien a menos que continúe su formación matemática al menos hasta las clases inferiores como el álgebra lineal (que se ocupa de las matrices) y las ecuaciones diferenciales (donde también aparecen los polinomios). Y también apostaría a que la mayoría de las personas que toman estas clases nunca terminan usándolas en la "vida real".