Ejercicio 3.2.2 Utiliza el axioma de regularidad y el axioma del conjunto único para demostrar que si $A$ es un conjunto, entonces $A \notin A$ .
Axioma de regularidad: Si $A$ es un conjunto no vacío, entonces hay al menos un elemento x de A que o bien no es un conjunto, o bien es disjunto de A.
Axioma del conjunto único: Si $a$ es un objeto, entonces existe un conjunto $\{a\}$ cuyo único elemento es $a$ nos referimos a $\{a\}$ como el conjunto único cuyo elemento es $a$ Además, si $a$ y $b$ son objetos, entonces existe un conjunto $\{a,b\}$ cuyos únicos elementos son $a$ y $b$
Creo que puedo dar la prueba cuando A es el conjunto no vacío que contiene elementos finitos. Sin embargo, ¿alguien puede dar alguna pista para el caso general?
Supongamos que $A \in A$
Entonces eixsts $x$ de forma que $x$ no es un conjunto o $x \cap A$ = $\emptyset$
Entonces está claro que $x \ne A$ (si $x = A$ entonces $x \cap A \ne \emptyset$ )
Lo observamos como un elemento, $A$ $\ne$ $x$ , $A$ $\in$ $A$
Entonces $A$ $\in$ $A-x$
Definir el nuevo conjunto $A-x$ como $A_1$
entonces existe $x_1$ tal que $A \in A_1-x_1$
Tras pasos finitos
encontramos que $A \in \emptyset $
lo que lleva a la contradicción.
