Cómo calcular los siguientes fórmulas?

Question

$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots}}}$

$\dots\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$

Por qué son diferentes?

Answer 1

Definir una secuencia $(x_n)_{n\geq1}$, de modo que $x_1=\sqrt2$$x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}$. A continuación, la segunda fórmula que dar se puede decir que colorido describir el límite de $\lim_{n\to\infty}x_n$. Si suponemos que el límite de $L$ no existe (y no es difícil mostrar que no existe!), a continuación, ya que para todas las $n$ tenemos $x_{n+1}^2=2+x_n$, pasando al límite podemos ver que $L^2=2+L$. El polinomio $x^2-x-2$ tiene dos raíces, $-1$$2$: puesto que todas las $x_n$ son positivos, el único valor posible para $L$$2$.

Se puede hacer el otro?

Answer 2

Supongamos que el primer converge para algún valor $x$. Debido a que toda la expresión es idéntica a la primera interna radical, $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}=x=\sqrt{2+x}$ y resolviendo $x$ da $x=2$. Por supuesto, yo no he justificado que converge a algún valor.

El segundo puede ser considerado como el inicio de la con $\sqrt{2}$ y aplicar repetidamente la función de $f(x)=\sqrt{2+x}$. Tratando de este numéricamente sugiere que los valores converge a 2. Solveing $f(x)=x$ muestra que $2$ es un punto fijo de la función.

Viendo la segunda expresión es en realidad cómo me había de justificar (aunque tal vez no sea una rigurosa prueba) que la primera expresión converge.