Teorema de Goursat

Question

Un primer teorema que se demuestra en el primer curso de Análisis Complejo sería el Teorema de Gousart. Aquí está:

Teorema (Goursat). Sea $f:U\rightarrow\mathbb{C}$ sea una función analítica. Entonces la integral $\displaystyle\int_{\partial R}f(z)dz=0$ , donde $R$ es un rectángulo dado por { $z=x+iy : a\leq x\leq b$ y $ c\leq y\leq d$ }.

Muchos libros dan una prueba bastante complicada que utiliza bastantes estimaciones. Me pregunto si la siguiente prueba, que me parece completamente natural, tiene sentido.

Prueba. Sea $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ .

$\displaystyle\int_{\partial R}f(z)dz=\int_{L_1}f(z)dz+\int_{L_2}f(z)dz+\int_{L_3}f(z)dz+\int_{L_4}f(z)dz$ , donde $L_1,L_2,L_3,L_4$ son los cuatro lados del rectángulo.

Se puede demostrar mediante cálculos explícitos que $\displaystyle \int_{L_1}f(z)dz+\int_{L_2}f(z)dz+\int_{L_3}f(z)dz+\int_{L_4}f(z)dz =I_1+iI_2$ , donde

$I_1=\displaystyle\int_{a}^b u(x,c)-u(x,d)dx-\int_{c}^d v(b,y)-v(a,y)dy$ y $I_2=\displaystyle\int_{a}^b v(x,c)-u(x,d)dx+\int_{c}^d u(b,y)-u(a,y)dy$ .

Por el Teorema Fundamental del Cálculo y el Teorema de Fubini, tenemos

$I_1=\displaystyle\int_{a}^b\int_{c}^{d} -\dfrac{\partial u}{\partial y}-\dfrac{\partial v}{\partial x}dydx$ y $I_2=\displaystyle\int_{a}^b\int_{c}^{d} -\dfrac{\partial v}{\partial y}+\dfrac{\partial u}{\partial x}dydx$

Desde $f$ es analítica, satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann: $-\dfrac{\partial u}{\partial y}-\dfrac{\partial v}{\partial x}=-\dfrac{\partial v}{\partial y}+\dfrac{\partial u}{\partial x}=0$

Así que $I_1=I_2=0$ . Hemos terminado.

Me pregunto si esta prueba es válida. Pero nunca he visto ningún clásico sobre Análisis Complejo que adopte esta prueba.

Answer 1

Tu prueba está perfectamente bien, SI asumes que tu función $u$ es $C^1$ que es diferenciable con continuo derivado. De hecho, ese es el requisito para que se cumpla el teorema de Green (y el FTC).

Si quieres ponerte puntilloso por otro lado, entonces tienes que hacer esas estimaciones más complicadas que has mencionado (pruebas sobre un cuadrado, pruebas sobre polígonos, etc). La cuestión es que cuando empezamos el trabajo de base del análisis complejo, primero definimos la analiticidad como $f$ que satisface las ecuaciones de Cauchy Riemann, ya que $f$ es diferenciable de forma compleja. Más tarde descubrimos, (¡de hecho usando cosas como el Teorema de Cauchy más general!) que la analiticidad implica la $f$ es complejo diferenciable de todos los órdenes por lo que implicará $f$ tiene una primera derivada continua y, por lo tanto, se aplica todo ese galimatías del cálculo vectorial.

Así que cuando te encuentras por primera vez con el teorema de Cauchy Goursat, tendrías que "hacer trampa" y asumir la continuidad de las primeras derivadas para aplicar la maquinaria del cálculo vectorial. Si quieres la demostración formal, ¡tienes que sudar un poco!

Puede que ahora se pregunte por qué necesita la continuidad de los parciales. Un ejemplo típico es el siguiente: tome $H(x)=1$ para $x>0$ y 0 en caso contrario, es decir, la función escalonada de Heaviside. Entonces $H'(x)=0$ en todas partes excepto $x=0$ donde es $\infty$ . Pero $\int_0^1 H'(x)=0$ Sin embargo, $H(1)-H(0)=1$ por lo que el FTC no se sostiene. La moraleja aquí es que la condición para que una función compleja sea analítica es extremadamente fuerte, y de nuevo, como se descubre más tarde en el análisis complejo, si $f(x)$ es diferenciable de forma compleja, entonces es infinitamente diferenciable.