Vinculado a las expectativas de valor absoluto en términos de la varianza

Question

En mi libro dice que un proceso de ruido blanco $\{Z_t\}$ con media cero y varianza $\sigma^2$ tiene la siguiente propiedad:

E$|Z_t| \leq \sigma$.

Esto me hizo pensar en la desigualdad de Jensen, que $\text{E}(g(X)) \geq g(\text{E}(X))$, para funciones convexas g.

Ya que tenemos que $\text{E}(Z^2_t) = \sigma^2$$\text{E}(Z_t) = 0$, podríamos aplicar esta desigualdad a$\text{E}(Z_t)$, y obtener un $\text{E}(|Z_t|) \geq |\text{E}(Z_t)| = 0$, ya que el valor absoluto es una función convexa. Pero necesitamos el límite superior, y la desigualdad es sólo para funciones convexas, por lo que no podemos usar $\text{E}(Z^2_t) = \sigma^2$ y tome la raíz cuadrada en ambos lados..

Answer 1

Como habrá adivinado, esto es una consecuencia de la desigualdad de Jensen, pero para$X=|Z_t|$$g:x\mapsto x^2$. A saber, con estas opciones, $E(g(X))=E(Z_t^2)$ $g(E(X))=E(|Z_t|)^2$ por lo tanto la desigualdad de Jensen lee $E(|Z_t|)^2\leqslant E(Z_t^2)=\sigma^2$, QED.

Por supuesto, hay otras maneras de demostrar esta, tales como la invocación de Cauchy-Schwarz desigualdad (pero para la variable aleatoria $|Z_t|$ e no $Z_t$ sí, ya que, como se señalaba, de Cauchy-Schwarz para $Z_t$ los rendimientos de la vacua desigualdad $E(Z_t^2)\geqslant0$), o la expansión de la $E((|Z_t|-z)^2)\geqslant0$$z=E(|Z_t|)$.