Determinantes: Una condición especial

Question

¿En qué condiciones es

$$ \det (A_1 + \cdots + A_n) = \det (A_1)+ \cdots + \det (A_n), $$

sólo por curiosidad.

Answer 1

No estoy seguro de si buscas condiciones necesarias y suficientes, o sólo una lista de condiciones suficientes. Aquí hay una condición suficiente: encontrar cualquier solución a $x_1+x_2+\ldots+x_n=0$ , digamos que $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ y que $A_i$ sea una matriz llena de $a_i$ 's. Entonces ambos lados son cero.

Un poco más general: dejemos $a_1+\ldots+a_{n-1}=0$ y definir $A_i$ como en el caso anterior para $i=1,\ldots,n-1$ . Entonces, para cualquier $A_n$ ambos lados son iguales a $\operatorname{det}(A_n).$

Answer 2

Por supuesto, sólo nos interesa $n \geq 2$ . Dejemos que $A_{jk}$ sea el $k$ La fila de $A_j$ . El mapa determinante $\det(A_j)$ puede interpretarse, en cambio, como una alternancia de $n$ -mapa multilineal $\delta: \mathbb{F}^n \times \ldots \times \mathbb{F}^n \rightarrow \mathbb{F}$ tal que $\delta(e_1,\ldots,e_n) = 1$ Entonces $\det(A_j) = \delta(A_{j1}, \ldots, A_{jn})$ . Entonces la condición $$ \det(A_1 + \ldots + A_n) = \det(A_1) + \ldots + \det(A_n)$$ puede reescribirse como $$ \delta(A_{11} + \ldots + A_{n1}, \ldots, A_{1n} + \ldots + A_{nn}) = \delta(A_{11}, \ldots, A_{1n}) + \ldots + \delta(A_{n1}, \ldots, A_{nn})$$ El LHS se puede expandir, por multilinealidad, y restando del RHS, obtenemos $$ \sum_{i \in \{1, \ldots, n\}^n, i(k) \text{ not constant}} \delta(A_{i(1),1}, \ldots, A_{i(n),n}) = 0$$ En otras palabras, la suma de todos los determinantes de las matrices en las que se mezclan y combinan todos los posibles arreglos de filas (del índice correcto) de cualquiera de las matrices $A_1, \ldots, A_n$ , de forma que no todas las filas procedan de la misma matriz, debe ser igual a cero. La condición anterior es, por supuesto, necesaria y suficiente, pero probablemente no muy satisfactoria, ya que no es más que un montón de manipulaciones algebraicas. Pero creo que es todo lo que se puede conseguir con una condición algebraica tan general.

Se podría construir una variedad de condiciones suficientes como casos especiales de la condición anterior, aunque de nuevo no estoy seguro de cuáles serían particularmente interesantes sin ser innecesariamente restrictivas u obvias. Por ejemplo, se podría exigir que cada sumando sea cero; esto equivaldría a decir que toda matriz en la que se mezclen filas entre las matrices $A_1, \ldots, A_n$ no es invertible.