Sabemos que si $ f: E \to \mathbb {R} $ es una función medible de Lebesgue y $ g: \mathbb {R} \to \mathbb {R} $ es una función continua, entonces $ g \circ f $ es medido por Lebesgue. ¿Se puede reemplazar la función continua $ g $ por una función medible de Lebesgue sin afectar la validez del resultado anterior?
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Mirjam
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Aquí está el ejemplo estándar:
Deje que $f \colon [0,1] \to [0,1]$ ser el Función Cantor-Lebesgue . Esta es una función monótona y continua, y la imagen $f(C)$ del conjunto de Cantor $C$ es todo de $[0,1]$ . Defina $g(x) = x + f(x)$ . Luego $g \colon [0,1] \to [0,2]$ es un mapa estrictamente monótono y continuo, por lo que su inverso $h = g^{-1}$ es continua, también.
Obsérvese que $g(C)$ medida uno en $[0,2]$ Esto se debe a que $f$ es constante en cada intervalo en el complemento de $C$ así que $g$ asigna tal intervalo a un intervalo de la misma longitud. De ello se deduce que hay un subconjunto medible no Lebesgue $A$ de $g(C)$ (Teorema de Vitali: un subconjunto de $ \mathbb {R}$ es un conjunto nulo de Lebesgue si y sólo si todos sus subconjuntos son medibles de Lebesgue).
Ponga $B = g^{-1}(A) \subset C$ . Luego $B$ es un conjunto medible de Lebesgue como un subconjunto del conjunto nulo de Lebesgue $C$ así que la función característica $1_B$ de $B$ es Lebesgue medible.
La función $k = 1_B \circ h$ es la composición de la función medible de Lebesgue $1_B$ y la función continua $h$ pero $k$ no es Lebesgue medible, ya que $k^{-1}(1) = (1_B \circ h)^{-1}(1) = h^{-1}(B) = g(B) = A$ .
hakan
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Este Artículo de Wikipedia puede ser lo que estás buscando.
Según el artículo, una función $ f: \mathbb {R} \to \mathbb {R} $ se dice que es Lebesgue-medido si y sólo si para cada subconjunto medible por Borel $ B $ de $ \mathbb {R} $ su imagen previa $ {f^{ \leftarrow }}[B] $ es un subconjunto medible de Lebesgue de $ \mathbb {R} $ . Por lo tanto, porque estamos tratando con dos diferentes $ \sigma $ -algebras de $ \mathbb {R} $ aquí, la composición de dos funciones medibles por Lebesgue no es necesariamente medible por Lebesgue. Esto es precisamente lo que GEdgar y AD. han mencionado.
MonkeyZeus
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Esto detalla el comentario de Ilya:
Sí. En general, deja que $(E_1, \mathcal T_l) ,(E_2, \mathcal T_2),(E_3, \mathcal T_3)$ ser tres espacios medibles y $f:E_1 \to E_2$ y $g:E_2 \to E_3$ funciones mesurables. Si $X \in \mathcal T_3$ entonces, por la mesurabilidad de $g$ tenemos..: $g^{-1}(X) \in \mathcal T_2$ y por la mesurabilidad de $f$ tenemos $f^{-1}(g^{-1}(X)) \in \mathcal T_1$ . Desde $(g \circ f)^{-1} (X)=f^{-1} ( g^{-1}(X))$ tenemos..: $$ \forall X \in \mathcal T_3 \quad (g \circ f)^{-1} (X) \in \mathcal T_1$$
Esto da la mesurabilidad de $g \circ f$
