Demostrar el polinomio $P_a=X^5 + a$ es reducible sobre un campo

Question

Sea $(K, +, \cdot)$ un campo finito de modo que el polinomio $P=X^2-5$ es irreducible.

Demuéstralo:

a) $1+1 \ne 0$

b) El polinomio $P_a=X^5 + a$ es reducible $\forall a \in K$

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a) Esta es la parte fácil.

Supongamos que $1+1=0$ . Entonces $5=1$ por lo tanto $P=(X-1)(X+1)$ contradicción.

b) Creo que la idea es mostrar la ecuación $x^5 + a=0$ tiene soluciones $\forall a \in K$ pero no pude demostrarlo.

Se agradece cualquier pista para una solución elemental.

Answer 1

Si $a=0$ hemos terminado. Supongamos $a\in F^\times$ .

Sea $p=$ char $ F$ . Entonces, $F=\Bbb{F}_{p^k}$ . Si $k$ es par, entonces, $\Bbb{F}_{p^2}\subseteq F$ . Sin embargo, $X^2-5$ se divide en $\Bbb{F}_{p^2}$ como campo de división de un polinomio de grado dos es de grado dos, y $\Bbb{F}_{p^2}$ es la única extensión de grado dos de $\Bbb{F}_p$ . Contradicción.

Así que.., $k$ es impar. $x^2-5$ no tiene solución significa $5$ no es un residuo cuadrático $\Bbb{F}_p$ . Entonces, por la ley de reciprocidad cuadrática, $p$ no es un residuo cuadrático en $\Bbb{F}_5$ . En particular $5\not\lvert p\pm 1$ así que.., $5\not\lvert p^k-1$ . Elija un generador $g\in F^\times$ . Sea $-a=g^{m}$ . En $5\not\lvert p^k-1$ , $5$ divide una de $m,m+(p^k-1),m+2(p^k-1),m+3(p^k-1),m+4(p^k-1)$ . Entonces, $g^\frac{m+b(p^k-1)}5$ es una raíz de $x^5+a$ según se desee.