De qué manera se debería ejecutar de los leones?

Question

Este es un divertido problema que vi en alguna parte en internet hace mucho tiempo:

Supongamos que usted está en el centro de un triángulo equilátero con lado de longitud $s$. En cada uno de sus vértices, hay un león que está decidido a comer. Los leones inicio a una velocidad constante de $v_l$, y siempre están corriendo directamente hacia su ubicación actual. Empezar en el centro, y se puede ejecutar a una velocidad constante $v_h$ (suponga aceleración instantánea para todas las partes). Usted NO encerrado en el triángulo, usted es libre de intentar correr donde quieras. Que parche se debe tomar con el fin de sobrevivir el mayor tiempo posible? ¿Cuánto tiempo puede sobrevivir?

En primer lugar, porque todo el mundo la velocidad es constante, yo pensaba que sólo pueden trabajar con funciones de $x$ para las rutas de los leones y el ser humano, y tratar de maximizar la longitud de arco de los leones' caminos. Sin embargo, yo creo que es mucho más fácil trabajar con las funciones en forma paramétrica, porque la tangente líneas a los leones de la ruta de la' a $t=t_0$ debe ir a través de su posición en $t_0$. También, creo que es razonable asumir que al $t=0$ su dirección recta hacia el punto medio de uno de los lados, ya que cualquier otra dirección que le causan a cumplir con uno de los leones más rápido.

Answer 1

Para el caso que he mencionado más arriba (el hombre y los leones tienen la misma velocidad, de lo contrario la respuesta es obvia), nos deja escoger a la persona en el centro del triángulo y corriendo hacia el centro de un lado, y el león encima de él empieza a correr hacia la persona con la misma velocidad. El uso de un marco de referencia en el que el hombre es todavía, y de los números complejos para describir la posición león, uno puede escribir para $z=\rho e^{I \phi}$: $$\dot z = -v e^{I \phi} -v$$ (where $v$ is the speed). We can rescale distances in units of the side of the triangle $L$ and time in units of $L/v$, to get the dimensionless $$\dot z=-1-e^{I \phi}$$, from where: $$\dot \rho =-(1+\cos \phi) \\ \rho \dot \phi =\sin \phi.$$

La solución a estas ecuaciones son: $$\rho = \rho_0 ( \frac{\sin\frac{\phi}{2}}{\sin\frac{\phi_0}{2}} )^2$$ and $$\log\tan^2\frac{\phi}{2}-\frac{1}{\sin^2\frac{\phi}{2}} \Bigg\vert_{\phi_0}^{\phi}=\frac{2t}{\rho_0 \sin^2\frac{\phi_0}{2}},$$ where $t$ is the time (starting from $0$), $\rho_0=1/\sqrt 3$, and $\phi_0=\pi/3$.

Nota de la última ecuación, que tenemos que resolver para $\phi =\phi(t)$. Esto es posible si nos damos cuenta de que $\sin^2$ puede ser expresada como función de $\tan^2$ y resolvemos para $\tan$ el uso de la W de Lambert-función. Con ella, podemos obtener el $\rho=\rho(t)$ a partir de la solución anterior $\rho=\rho(\phi)$.

La solución obtenida con la anterior y validado por la integración del complejo de educación a distancia de ecuaciones con el método de Runge-Kutta de orden $4$ dar para la trayectoria del león (recuerde que el hombre se encuentra todavía en el origen del plano complejo):

El león, como visto por el hombre corriente, comienza en la esquina superior derecha. Recuerde que las unidades de longitud en unidades de el lado del triángulo, de modo que si el triángulo es demasiado pequeño, el león, incluso si no llega el origen (donde la persona se encuentra en su marco de referencia), todavía podría agarrarlo si en un rango cercano.