$A$ $B$ conmutar en un conjunto denso pero $e^{iA}$ y $e^{iB}$ no

Question

Que $A$ $B$ ser operadores ilimitados, simétricos en un espacio de Hilbert $H$ con un dominio común $D$. Si $AB = BA$ $D$, ¿es necesariamente que caso que $e^{iA}$ y $e^{iB}$ también conmutar? Si $A$ y $B$ son limitadas, entonces sé que este es el caso. Sin embargo, no estoy seguro si el mismo debe ser verdad para los operadores sin límites. ¿Alguien tiene una prueba o un contraejemplo?

Answer 1

Deje $H=L^{2}[0,\pi]$. El subespacio $D=\mathcal{C}^{\infty}_{c}(0,2\pi)$ consiste infinitamente de funciones diferenciables en $(0,2\pi)$, que es compacta, apoyado en $(0,2\pi)$ es un subespacio denso de $H$. Deje $\mathcal{D}(A$) el dominio de dos veces absolutamente funciones continuas en $[0,2\pi]$ para los que $$ f'\in H, f" \in H, f(0)=f(\pi)=0. $$ Deje $\mathcal{D}(B)$ ser el dominio de dos veces absolutamente funciones continuas en $[0,2\pi]$ para los que $$ f'\in H, f" \in H, f'(0)=f'(\pi)=0. $$ Deje $A$ $B$ $-\frac{d^{2}}{dx^{2}}$ en sus respectivos dominios. Ambos operadores se selfadjoint, y $Af=Bf$ todos los $f \in D$. El operador $A$ cuenta con una completa base ortonormales que consta de $$ a_{n}(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin(n x),\;\;\; n=1,2,3,\ldots\;. $$ El operador $B$ cuenta con una completa base ortonormales de funciones propias $$ b_{0}=\sqrt{\frac{1}{\pi}},\;\;b_{n}(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\cos(n x),\;\;\; n =1,2,3,\ldots\;. $$ Los operadores de $e^{iA}$ $e^{iB}$ que se aplica a $f\in H$ están dadas por $$ e^{iA}f = \sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(t)\sin(nt)\,dt\right] e^{^{2}}\sin(nx), \\ e^{iB}f = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(t)\,dt+ \sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(t)\cos(nt)\,dt\right]e^{^{2}}\cos(nx). $$ En particular, $e^{iB}1=1$ porque $1$ es un eigenfunction de $B$ con autovalor $0$. Para $n \ge 1$, $$ \left.\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin(nt)dt = -\frac{2}{n\pi}\cos(nt)\right|_{0}^{\pi}=2\frac{1-(-1)^{n}}{n\pi} $$ Por eso, $e^{iB}\ne e^{iA}$ porque $$ e^{iB}1=1 = 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^{n}}{n\pi}\cos(nx),\\ e^{iA}1=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^{n}}{n\pi}e^{^{2}}\cos(nx). $$