Utilizando la definición de $\lim_{x\to a} f(x) = \infty$ , demuestre que $\lim_{x\to 0} \frac{4x+\sqrt{5}}{2x^3+x^2} = \infty$

Question

Este es mi trabajo hasta ahora:

$$\lim_{x\to a} f(x) = \infty$$ si,

$\forall K > 0, \, \exists \delta >0$ s.t. $|f(x)|>K$ cuando $0<|x-a|<\delta$ & $x\in \text{Dom}(f)$

Prueba: Dado $K>0$ , encontrar $\delta>0$ s.t. $|f(x)| > K$ cuando $0<|x-a|<\delta$

es decir, que, $$\left|\frac{4x+\sqrt{5}}{2x^3+x^2}\right| > K\quad \text{ when }|x|<\delta$$

Mi problema empieza aquí en que no tengo ni idea de cómo simplificar $\left|\frac{4x+\sqrt{5}}{2x^3+x^2}\right| > K$ y obtener algo en términos de $x$ o $|x|$ para luego determinar mi $\delta$ en consecuencia.

Gracias por tomarse el tiempo y $\textbf{hints only please!}$

Answer 1

Sugerencia

Tenemos que

$$\left|\frac{4x+\sqrt{5}}{2x^3+x^2}\right|=\dfrac{1}{x^2}\left|\frac{4x+\sqrt{5}}{2x+1}\right|.$$ Supongamos que $|x|< 1/4.$ Entonces

$$|4x+\sqrt{5}|> \sqrt{5}-1$$ y $$|2x+1|< \dfrac12.$$

Answer 2

Si $|x| < 1/4$ , numerador > 1 y |denominador| $=|x^2(2x+1)| < |x^2/2|$ .

Answer 3

Entonces, $|x|<\delta\le\frac{1}{4}$ y para $\delta=\sqrt{\dfrac{\sqrt 5-1}{2K}}$ tenemos que $|f(x)|>\dfrac{\sqrt 5-1}{2x^2}>K$ con la restricción de que $\delta\le\dfrac{1}{4}$ lo que lleva a la restricción $K>8(\sqrt5-1)$ que es definitivamente $\textbf{not}$ $\forall K>0$ . Esta solución es $\textbf{wrong}$ . Borra esto si lo consideras necesario, pero por favor menciónalo en los comentarios ya que yo no puedo hacerlo. Establecer límites aleatorios no funciona en general. Lleva a restricciones que no se pueden manejar.