Cuándo puede establecer un límite superior, pero no menos límite superior?

Question

Así que me estoy tomando análisis real y han señalado que uno de los beneficios de la Dedekind corte es que 'si uno de los conjuntos de hecho tiene un límite superior también tiene al menos un límite superior'.

No entiendo cómo un conjunto puede tener un límite superior y no menos límite superior, aunque.

Es lo que puede llevar a esta declarando un conjunto de los racionales que está acotada arriba por un número irracional? No veo ninguna otra manera para que esto sea cierto (y no sé por qué te gustaría hacer cada vez que se establece, o de manera similar por qué es un 'especial', propiedad de la Dedekind cortada en vez de en el caso general).

Gracias por su tiempo,
Damien

Answer 1

$\sup S$ es la abreviatura de la menor cota superior de a $S$ en algunos $T\supset S$ con respecto a una orden $\leq$ $T$ . Sin embargo, nos a menudo omite $T$ $\leq$ cuando son evidentes a partir del contexto.

Considere el caso en que $T=\mathbb{Q}$ $\leq$ es el orden usual. Desde $\sup\left\{ x\in\mathbb{Q}:x^{2}<2\right\} $ superior vinculado, pero no menos límite superior (en $T=\mathbb{Q}$), este supremum no existen. Por lo tanto, $\mathbb{Q}$ no satisface el límite superior menos propiedad (un.k.una. Dedekind integridad).

Sin embargo, si en lugar de eso tuvimos $T=\mathbb{R}$, por encima de la supremum es $\sqrt{2}$.

Otro ejemplo está dado por @Hagen von Eitzen, donde buscamos $\sup \emptyset$. Independientemente de si $T=\mathbb{Q}$ o $T=\mathbb{R}$, en ambos de estos espacios, $0$ es un límite superior de $\emptyset$. Además, si $x$ es una cota superior del conjunto vacío, por lo que también es $x-1$. Por lo tanto, no existe ningún mínimo de límite superior. Podemos escribir esto como $\sup\emptyset = -\infty$ (de hecho, si $T=\overline{\mathbb{R}}$, el mayor reales con el obvio fin, esta es una declaración precisa).

Tenga en cuenta que esto no se contradice con Dedekind integridad de los reales debido a Dedekind integridad sólo requiere acotado no vacío conjuntos de tener supremums.

Answer 2

El conjunto $$\left\{\sum_{k=1}^n\frac1{k!}:n\in\Bbb N\right\}$$ está contenida en los racionales, y tiene límite superior. No es difícil mostrar que $3$ es un límite superior.

Pero en los reales, la serie converge a $e$, lo que no es racional. Para un relativamente fáciles de prueba, consulte aquí.

Answer 3

Digamos que tenemos una función continua $f :\Bbb{Q}\to \Bbb{Q}$, de la que conocemos $f(a)<0<f(b)$ fijo de números racionales $a<b$. Ahora establecer

$$ M:=\{x\mediados de los a\leq x\leq b \text{ y } f(x)<0\}. $$

Claramente,$M$ está delimitado por encima. Supongamos que $M$ tiene al menos un límite superior $\alpha$. No es difícil ver que esto conlleva $f(\alpha)=0$ (si no lo creen, voy a añadir la prueba).

Por lo tanto, si $f$ no tiene raíz en $a\leq x \leq b$, $M$ no puede tener un mínimo de límite superior (en $\Bbb{Q}$). Esto sucede, por ejemplo, para $f(x)=x^2-2$. En este caso, el conjunto $M$ se reduce al caso para el cual se escribe "no sé por qué usted va a hacer un set".

Acabamos de ver te respuesta: que Tal aparece, naturalmente, si queremos demostrar el teorema del valor intermedio que es muy natural y útil teorema pero que no logra, en general, para noncomplete establece como $\Bbb{Q}$.