La intersección de subgrupos conjugados es normal

Question

¿Existe una prueba mejor (más directa o intuitiva) para esta proposición que la que he presentado a continuación? No estoy seguro de que se pueda simplificar:

Dejemos que $G$ sea un grupo con $H \leq G$ . Entonces $K = \bigcap_{g \in G} gHg^{-1}$ es normal en $G$ .

Dejemos que $a \in K$ . Entonces $a \in gHg^{-1}$ para todos $g \in G$ . Por lo tanto, para todos los $g_1,g \in G$ , $g_1ag_1^{-1} \in g_1gHg^{-1}g_1^{-1} = (g_1g)H(g_1g)^{-1}$ y así $g_1ag_1^{-1} \in K$ desde $g_1g \in G$ . Entonces $K$ es normal en $G$ .

Answer 1

Por cada $g\in G$ tenemos $$ gKg^{-1}=g\left(\bigcap_{g'\in G} g'Hg'^{-1}\right)g^{-1}=\bigcap_{g'\in G} gg'Hg'^{-1}g^{-1}=\bigcap_{g'\in G} gg'H(gg')^{-1} $$ $$ =\bigcap_{g'\in G}g'Hg'^{-1}=K. $$ Tenga en cuenta que el paso menos trivial es el segundo. Se debe al hecho de que $x\longmapsto gxg^{-1}$ es inyectiva para $\supseteq$ . La inclusión $\subseteq$ es sencillo.

Answer 2

Esto no es muy diferente en esencia, pero enfatiza la otra definición importante de subgrupo normal como núcleo de homomorfismo.

Considere la acción de $G$ en los cosets de $H$ dado por la multiplicación. Se trata de un homomorfismo $\phi$ de $G$ al grupo simétrico en el conjunto $G/H = \{ gH : g \in G \} = \{ \{ gh: h \in H \} : g \in G \}$ . Como tal, tiene un núcleo $K$ , esos $k$ tal que $kgH = gH$ para todos $g \in G$ . Este es precisamente el $k$ tal que $kg = gh_g$ para algunos $h_g \in G$ depende de $g$ Es decir $k = gh_g g^{-1} \in gHg^{-1}$ . En otras palabras, $\bigcap_{g\in G} gHg^{-1} = \ker(\phi)$ .