Mapas algebraicos de productos de variedades afines

Question

Tengo una pregunta que podría ser bastante elemental, pero aún no he podido encontrar una respuesta en la literatura. Cualquier indicación será bienvenida :)

Dejemos que $X$ , $Y$ y $Z$ sean variedades algebraicas afines. Tengo un mapa $f:X\times Y \rightarrow Z$ y sé que para los fijos $x_0\in X$ el mapa $Y\rightarrow Z, y \mapsto f(x_0,y)$ es un morfismo. Además, para un $y_0\in Y$ el mapa $X\rightarrow Z, x \mapsto f(x,y_0)$ es un morfismo. Considero $X\times Y$ como la variedad de productos de $X$ y $Y$ .

Es $f$ ¿es entonces un morfismo? ¿Puedo demostrarlo enunciando algunos resultados conocidos de la geometría algebraica? (Sería muy útil que me indicaran la bibliografía). ¿O tengo que demostrarlo "a mano"? ¿O la afirmación es incluso falsa?

Gracias.

Answer 1

Esta pregunta se responde en [Richard S. Palais, Some Analogues of Hartogs' Theorem in an Algebraic Setting. American Journal of Mathematics, Vol. 100, No. 2 (Apr., 1978), pp. 387-405]

Por ejemplo, demuestra que una condición necesaria y suficiente en un campo $K$ para cada mapa polinómico por separado $K\times K\to K$ para ser polinómico es que sea finito o incontable. En particular, existen campos que no tienen esta propiedad.

En términos más generales, demuestra que si uno de $X$ o $Y$ es algebraicamente de la segunda categoría -es decir, no puede escribirse como una unión contable de subvariedades propias- y $f:X\times Y\to Z$ es un mapa polinómico separado, entonces $f$ es de hecho un mapa polinómico. Además, un campo algebraicamente cerrado incontable tiene la propiedad de que todas las variedades algebraicas afines sobre él son algebraicamente de la segunda categoría, y lo mismo ocurre con los campos completos perfectos no discretos.

De nuevo, hay campos para los que los mapas polinómicos por separado no son polinómicos.

Merece la pena leer el documento :)