Problemas de funciones continuas y discontinuas

Question

¿El siguiente problema puede ser cierto?

El problema: Para cada número entero positivo $n>1$ existe una función $ f\left( x \right)$ en $\mathbb{R}$ que satisface las dos condiciones siguientes:

(i) $f\left( x \right),{\rm{ }}f\left( {f\left( x \right)} \right), \ldots ,{\rm{ }}f\left( { \ldots f\left( x \right) \ldots } \right)$ ( $ (n-1)$ veces $ f $ ) discontinua en cada $x$ pertenecen a $\mathbb{R}$ .

(ii) $ f\left( { \ldots \left( {f\left( x \right) \ldots } \right)} \right)$ ( $n$ veces $f$ ) continua en $ \mathbb{R}$ .

Answer 1

Aquí hay uno que funciona para $n=2$ :

Dejemos que $f(x) = 0$ si $x$ es racional y $1$ si $x$ es irracional.

Entonces $f(x)$ es discontinuo para todo $x$ pero $f(f(x))=0$ para todos $x$ y es continua.

Por el momento, no veo cómo retrasar el resultado de $n-1$ iteraciones de $f$ a sólo valores racionales mientras que las iteraciones anteriores pueden estar en cualquier lugar.

Answer 2

Arreglar $x_1,x_2,\ldots,x_n\in\mathbb R$ que son linealmente independientes sobre $\mathbb Q$ . Para cada $\alpha\in\mathbb Q$ , dejemos que $f(\alpha x_1)=0$ y $f(\alpha x_i)=x_{i-1}$ para $i=2,\ldots,n$ ; deja que $f(x)=0$ para todos los demás $x\in\mathbb R$ . Claramente $f$ compuesto por sí mismo $n$ tiempos es la función cero que es continua. Para $k<n$ , $f$ compuesto por sí mismo $k$ envía el subconjunto denso $\{\alpha x_{k+1}\,:\,\alpha\in\mathbb Q\}$ a $x_1\neq0$ y el subconjunto denso $\{\alpha x_{k}\,:\,\alpha\in\mathbb Q\}$ a $0$ . Por lo tanto, esta función no es continua en ninguna parte.

Answer 3

Dejemos que $A_{n}$ denotan el conjunto de números reales que resuelven un polinomio entero de grado $n$ pero no son raíces de ningún polinomio de grado $< n$ . Entonces $A_{1} = \mathbb{Q}$ y $A_{2}$ es el conjunto de todas las soluciones irracionales (reales) de los polinomios cuadráticos, etc. Sea \begin{align*} f(x) & = \begin{cases} 0 & \textrm{if } x \not \in A_{1}, \ldots, A_{n}, \\ 2 & \textrm{if } x \in A_{1} , A_{2} , \\ \sqrt{2} & \textrm{if } x \in A_{3} , \\ 2^{1 / 3} & \textrm{if } x \in A_{4} , \\ \vdots & \vdots \\ 2^{1 / (n - 1)} & \textrm{if } x \in A_{n} . \end{cases} \end{align*} Eso debería bastar, estoy seguro.