Problemas con la definición de un espacio de adyacencia

Question

Recientemente he estado mirando la definición de un espacio de adyacencia, y en su mayor parte tiene sentido, pero hay una parte que no entiendo del todo.

dejar $X$ y $Y$ sean espacios topológicos con $A$ un subespacio de $Y$ . Sea $f : A X$ sea un mapa continuo (llamado mapa de fijación) . Se forma el espacio de adjunción $X \cup_f Y$ tomando la unión disjunta de $X$ y $Y$ e identificar $x$ con $f(x)$ para todos $x$ en $A$ . Esquemáticamente, $$X\cup_fY=(X\sqcup Y)/\sim$$

(Definición copiada de Wikipedia)

Lo que me cuesta es la identificación $\sim$ que se da, no parece cumplir ninguno de los criterios para ser una relación de equivalencia. Esto es lo que he visto $\sim$ normalmente se define, $$p_1\sim p_2 \iff p_2\in A \; and \;f(p_2)=p_1$$ (Tengo esta definición aquí )

Ahora creo que está bastante claro en esta definición que no es simétrica y aunque para algunas funciones podría ser reflexiva, generalmente no lo es. Para colmo, la transitividad en términos de esta relación no tiene sentido, $f$ es el mapeo de $A\subset Y$ en $X$ , lo que significa $p_2$ automáticamente no sería una entrada viable para el lado izquierdo porque ni siquiera está en $A$ . En resumen, no cumple ninguno de los criterios para ser una relación de equivalencia.

Siento que me estoy perdiendo algo aquí, como si esto fuera la abreviatura de algo más, pero no puedo pensar en qué. O tal vez he pensado demasiado en todo el asunto, de cualquier manera, si alguien pudiera ayudar a desglosar la definición y explicar realmente cómo funcionan las adjunciones estaría inmensamente agradecido.

Answer 1

Efectivamente, la relación que has planteado no es una relación de equivalencia. Describir la relación de equivalencia real sería un poco tedioso, así que vamos a describir simplemente las clases de equivalencia.

Si $x\in X\setminus A$ entonces $[x]=\{x\}$ .

Si $a\in A$ entonces $[a]=f^{-1}(\{f(a)\})\cup\{f(a)\}$ .

Si $y\in Y\setminus f(A)$ entonces $[y]=\{y\}$ .

Si $y\in f(A)$ entonces $y=f(a)$ para algunos $a\in A$ y $[y]=[a]$ .

Utiliza esto, y la imagen en el pdf que enlazaste, para ayudar a construir tu intuición.

Answer 2

La definición $$p_1\sim p_2 \iff p_2\in A \; and \;f(p_2)=p_1$$ es sencillamente erróneo, y es muy descuidado por parte de esas notas escribir la definición de esa manera. La definición correcta es que si $\sim$ es la relación definida de esta manera, se quiere que el relación de equivalencia generada por $\sim$ . Es decir, se quiere la menor relación de equivalencia en $X\sqcup Y$ que contiene todos los $(p_1,p_2)$ tal que $p_2\in A$ y $f(p_2)=p_1$ . Así que además de todos esos pares, también tienes todos los demás pares que te ves obligado a tener para satisfacer la reflexividad, la simetría y la transitividad.

En este caso particular, la relación de equivalencia generada puede describirse de forma bastante explícita como en la respuesta de Aweygan. En general, si $R$ es una relación, entonces la relación de equivalencia generada por $R$ consiste en todos los pares $(x,y)$ tal que para algunos $n\in\mathbb{N}$ existe $p_0,p_1,\dots,p_n$ con $p_0=x$ , $p_n=y$ y, o bien $(p_i,p_{i+1})\in R$ o $(p_{i+1},p_i)\in R$ para todos $i$ tal que $0\leq i<n$ . (Esto incluye el caso $n=0$ , donde $x=p_0=y$ .) En otras palabras, $x$ y $y$ son equivalentes si se pueden conectar mediante una "cadena" de pares relacionados por $R$ (en cualquier dirección, para satisfacer la simetría).